Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) < 5$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 4) = 5$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} (x (x + 4)) = 5$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 4) = 5$

Paso 2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 4) = 5$

Paso 2.1.3.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$

Paso 2.2

Reescribe $\log_{2} (x^{2} + 4 x) = 5$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} + 4 x$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 4 x = 2^{5}$ .

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

Paso 2.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$x^{2} + 4 x = 32$

Paso 2.3.3

Resta $32$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Paso 2.3.4

Factoriza $x^{2} + 4 x - 32$ con el método AC.

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Paso 2.3.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 32$ y cuya suma es $4$ .

$- 4, 8$

Paso 2.3.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Paso 2.3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Paso 2.3.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.3.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.3.7

Establece $x + 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.7.1

Establece $x + 8$ igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Paso 2.3.7.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 8$

Paso 2.3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 8) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 8$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{2} (x^{2} + 4 x) - 5$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{2} (x^{2} + 4 x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + 4 x > 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 4 x = 0$

Paso 3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + 4 x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 0$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 0$

Paso 3.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 3.2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 3.2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 3.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 4$

Paso 3.2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$x > 0$

Paso 3.2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 3.2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 3.2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{2} + 4 (- 6) > 0$

Paso 3.2.8.1.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 3.2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{2} + 4 (- 2) > 0$

Paso 3.2.8.2.3

$- 4$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 3.2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 3.2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 3.2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{2} + 4 (2) > 0$

Paso 3.2.8.3.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 3.2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Verdadero

Paso 3.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 4$ o $x > 0$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (0, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 8$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 8$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$\log_{2} (- 10) + \log_{2} ((- 10) + 4) < 5$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $- 8 < x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 8 < x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\log_{2} (- 6) + \log_{2} ((- 6) + 4) < 5$

Paso 5.2.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.2.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.2.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\log_{2} (- 2) + \log_{2} ((- 2) + 4) < 5$

Paso 5.3.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.3.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.3.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.4.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 5.4.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\log_{2} (2) + \log_{2} ((2) + 4) < 5$

Paso 5.4.3

$3.5849625$ del lado izquierdo es menor que $5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 5.5.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\log_{2} (6) + \log_{2} ((6) + 4) < 5$

Paso 5.5.3

$5.90689059$ del lado izquierdo no es menor que $5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < - 8$ Falso

$- 8 < x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 4$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < 4$

Notación de intervalo:

$(0, 4)$

Paso 8