Álgebra Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = a^{2}$

Paso 1

Dado que $x = r \cos (θ)$ , reemplaza $x$ por $r \cos (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + y^{2} = a^{2}$

Paso 2

Dado que $y = r \sin (θ)$ , reemplaza $y$ por $r \sin (θ)$ .

${(r \cos (θ))}^{2} + {(r \sin (θ))}^{2} = a^{2}$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Resta $a^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(r \cos (θ))}^{2} + {(r \sin (θ))}^{2} - a^{2} = 0$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + {(r \sin (θ))}^{2} - a^{2} = 0$

Paso 3.2.1.2

Aplica la regla del producto a $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - a^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - a^{2} = 0$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - a^{2} = 0$

Paso 3.2.2.3

Factoriza $r^{2}$ de $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - a^{2} = 0$

Paso 3.2.3

Reorganiza los términos.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - a^{2} = 0$

Paso 3.2.4

Aplica la identidad pitagórica.

$r^{2} \cdot 1 - a^{2} = 0$

Paso 3.2.5

Multiplica $r^{2}$ por $1$ .

$r^{2} - a^{2} = 0$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = r$ y $b = a$ .

$(r + a) (r - a) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r + a = 0$

$r - a = 0$

Paso 3.5

Establece $r + a$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.5.1

Establece $r + a$ igual a $0$ .

$r + a = 0$

Paso 3.5.2

Resta $a$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - a$

Paso 3.6

Establece $r - a$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.6.1

Establece $r - a$ igual a $0$ .

$r - a = 0$

Paso 3.6.2

Suma $a$ a ambos lados de la ecuación.

$r = a$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r + a) (r - a) = 0$ verdadera.

$r = - a$

$r = a$

$r = - a$

$r = a$