Álgebra Ejemplos

$\log_{3} (x + 9) < 4$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{3} (x + 9) = 4$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $\log_{3} (x + 9) = 4$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{4} = x + 9$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $x + 9 = 3^{4}$ .

$x + 9 = 3^{4}$

Paso 2.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$x + 9 = 81$

Paso 2.2.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.2.3.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 81 - 9$

Paso 2.2.3.2

Resta $9$ de $81$ .

$x = 72$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{3} (x + 9) - 4$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{3} (x + 9)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 9 > 0$

Paso 3.2

Resta $9$ de ambos lados de la desigualdad.

$x > - 9$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- 9, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 9$

$- 9 < x < 72$

$x > 72$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 12$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 12$ en la desigualdad original.

$\log_{3} ((- 12) + 9) < 4$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $- 9 < x < 72$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 9 < x < 72$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\log_{3} ((0) + 9) < 4$

Paso 5.2.3

$2$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 72$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 72$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 74$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $74$ en la desigualdad original.

$\log_{3} ((74) + 9) < 4$

Paso 5.3.3

$4.02220205$ del lado izquierdo no es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < 72$ Verdadero

$x > 72$ Falso

$x < - 9$ Falso

$- 9 < x < 72$ Verdadero

$x > 72$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 9 < x < 72$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 9 < x < 72$

Notación de intervalo:

$(- 9, 72)$

Paso 8