Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 6 x - 7}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x^{3} - 4 x}{6 x^{2} - 12 x}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 7}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x \cdot x^{2} - 4 x}{6 x^{2} - 12 x}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 7}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}{6 x^{2} - 12 x}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 7}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x^{2} - 4)}{6 x^{2} - 12 x}$

Paso 1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 7}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x^{2} - 2^{2})}{6 x^{2} - 12 x}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 7}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x^{2} - 12 x}$

Paso 2

Factoriza $6 x$ de $6 x^{2} - 12 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 7}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x) - 12 x}$

Paso 2.2

Factoriza $6 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 7}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x) + 6 x (- 2)}$

Paso 2.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (x) + 6 x (- 2)$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 7}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} + 6 x - 7$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 7$ y cuya suma es $6$ .

$- 1, 7$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 7)}{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 7)}{2 x (x^{2}) + 2 x^{2} - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 4.1.2

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 7)}{2 x (x^{2}) + 2 x (x) - 4 x} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 4.1.3

Factoriza $2 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{(x - 1) (x + 7)}{2 x (x^{2}) + 2 x (x) + 2 x (- 2)} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 4.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2}) + 2 x (x)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 7)}{2 x (x^{2} + x) + 2 x (- 2)} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 4.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{2} + x) + 2 x (- 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 7)}{2 x (x^{2} + x - 2)} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 4.2

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 4.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 7)}{2 x ((x - 1) (x + 2))} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

$\frac{(x - 1) (x + 7)}{2 x (x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x + 7$ de $(x - 1) (x + 7)$ .

$\frac{(x + 7) (x - 1)}{2 x (x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 7) (x - 1)}{2 x (x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{4}{x + 7} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 1}{2 x (x - 1) (x + 2)} \cdot 4 \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $2 x (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{x - 1}{2 ((x (x - 1)) (x + 2))} \cdot 4 \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{x - 1}{2 ((x (x - 1)) (x + 2))} \cdot (2 (2)) \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x - 1}{2 ((x (x - 1)) (x + 2))} \cdot (2 \cdot 2) \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 1}{(x (x - 1)) (x + 2)} \cdot 2 \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5.3

Combina $\frac{x - 1}{(x (x - 1)) (x + 2)}$ y $2$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2}{(x (x - 1)) (x + 2)} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $2$ de $(x - 1) \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1)}{x (x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{6 x (x - 2)}$

Paso 5.4.2

Factoriza $2$ de $6 x (x - 2)$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1)}{x (x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{2 (3 x (x - 2))}$

Paso 5.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot (x - 1)}{x (x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{2 (3 x (x - 2))}$

Paso 5.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 1}{x (x - 1) (x + 2)} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{3 x (x - 2)}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $x (x + 2)$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $x (x + 2)$ de $x (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{x - 1}{x (x + 2) (x - 1)} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{3 x (x - 2)}$

Paso 5.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x - 1}{x (x + 2) (x - 1)} \cdot \frac{x (x + 2) (x - 2)}{3 x (x - 2)}$

Paso 5.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{x - 2}{3 x (x - 2)}$

Paso 5.6

Multiplica $\frac{x - 1}{x - 1}$ por $\frac{x - 2}{3 x (x - 2)}$ .

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (3 x (x - 2))}$

Paso 5.7

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (3 x (x - 2))}$

Paso 5.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 2}{3 x (x - 2)}$

Paso 5.8

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 2}{3 x (x - 2)}$

Paso 5.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3 x}$