Álgebra Ejemplos

$\sec^{2} (x) - 6 \tan (x) = - 4$

Paso 1

Reemplaza $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) - 6 \tan (x) = - 4$

Paso 2

Reordena el polinomio.

$\tan^{2} (x) - 6 \tan (x) + 1 = - 4$

Paso 3

Sustituye $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} - 6 u + 1 = - 4$

Paso 4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{2} - 6 u + 1 + 4 = 0$

Paso 5

Suma $1$ y $4$ .

$u^{2} - 6 u + 5 = 0$

Paso 6

Factoriza $u^{2} - 6 u + 5$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 5) (u - 1) = 0$

Paso 7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

$u - 1 = 0$

Paso 8

Establece $u - 5$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 8.1

Establece $u - 5$ igual a $0$ .

$u - 5 = 0$

Paso 8.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 5$

Paso 9

Establece $u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 9.1

Establece $u - 1$ igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Paso 9.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 1$

Paso 10

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 5) (u - 1) = 0$ verdadera.

$u = 5, 1$

Paso 11

Sustituye $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = 5, 1$

Paso 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = 5$

$\tan (x) = 1$

Paso 13

Resuelve $x$ en $\tan (x) = 5$ .

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Paso 13.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (5)$

Paso 13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.1

Evalúa $\arctan (5)$ .

$x = 1.37340076$

Paso 13.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = (3.14159265) + 1.37340076$

Paso 13.4

Resuelve $x$

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Paso 13.4.1

Elimina los paréntesis.

$x = 3.14159265 + 1.37340076$

Paso 13.4.2

Elimina los paréntesis.

$x = (3.14159265) + 1.37340076$

Paso 13.4.3

Suma $3.14159265$ y $1.37340076$ .

$x = 4.51499342$

Paso 13.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 13.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 13.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 13.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 13.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 13.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 1.37340076 + π n, 4.51499342 + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Resuelve $x$ en $\tan (x) = 1$ .

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Paso 14.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 14.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 14.4

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 14.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 14.4.2

Combina fracciones.

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Paso 14.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 14.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 14.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 14.4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 14.4.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 14.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 14.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 14.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Enumera todas las soluciones.

$x = 1.37340076 + π n, 4.51499342 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16

Consolida las soluciones.

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Paso 16.1

Consolida $1.37340076 + π n$ y $4.51499342 + π n$ en $1.37340076 + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16.2

Consolida $\frac{π}{4} + π n$ y $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = 1.37340076 + π n, \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$