Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 7}{x + 5} - \frac{7 x}{x^{2} - 3 x - 40}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 40$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 40$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 8, 5$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 7}{x + 5} - \frac{7 x}{(x - 8) (x + 5)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x + 7}{x + 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{x + 7}{x + 5} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{7 x}{(x - 8) (x + 5)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 5) (x - 8)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x + 7}{x + 5}$ por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$\frac{(x + 7) (x - 8)}{(x + 5) (x - 8)} - \frac{7 x}{(x - 8) (x + 5)}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(x - 8) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 7) (x - 8)}{(x + 5) (x - 8)} - \frac{7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 7) (x - 8) - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(x + 7) (x - 8)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 8) + 7 (x - 8) - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 7 (x - 8) - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 8 + 7 x + 7 \cdot - 8 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 8 + 7 x + 7 \cdot - 8 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Paso 5.2.1.2

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 8 \cdot x + 7 x + 7 \cdot - 8 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $7$ por $- 8$ .

$\frac{x^{2} - 8 x + 7 x - 56 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Paso 5.2.2

Suma $- 8 x$ y $7 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 56 - 7 x}{(x + 5) (x - 8)}$

Paso 5.3

Resta $7 x$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 56}{(x + 5) (x - 8)}$