Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x^{3} + 56 x^{2} + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x^{2} - 5 x - 36}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 5 x - 36$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 36$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 9, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 x^{3} + 56 x^{2} + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} + 56 x^{2} + 160 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x (x^{2}) + 56 x^{2} + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 2.1.2

Factoriza $4 x$ de $56 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x^{2}) + 4 x (14 x) + 160 x}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 2.1.3

Factoriza $4 x$ de $160 x$ .

$\frac{4 x (x^{2}) + 4 x (14 x) + 4 x (40)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 2.1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (14 x)$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 14 x) + 4 x (40)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 2.1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2} + 14 x) + 4 x (40)$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 14 x + 40)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2} + 14 x + 40$ con el método AC.

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Paso 2.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $40$ y cuya suma es $14$ .

$4, 10$

Paso 2.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 x ((x + 4) (x + 10))}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{81 - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{9^{2} - x^{2}}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 9$ y $b = x$ .

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x + 10$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x (x + 4) (x + 10)}{x + 10} \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 4.1.2

Divide $4 x (x + 4)$ por $1$ .

$4 x (x + 4) \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x + 4$ de $4 x (x + 4) \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}$ .

$(x + 4) (4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}) \cdot \frac{3 x}{(x - 9) (x + 4)}$

Paso 4.2.2

Factoriza $x + 4$ de $(x - 9) (x + 4)$ .

$(x + 4) (4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}) \cdot \frac{3 x}{(x + 4) (x - 9)}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común.

$(x + 4) (4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}) \cdot \frac{3 x}{(x + 4) (x - 9)}$

Paso 4.2.4

Reescribe la expresión.

$4 x \cdot \frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x - 9}$

Paso 4.3

Combina $4$ y $\frac{(9 + x) (9 - x)}{- x - 9}$ .

$x \cdot \frac{4 ((9 + x) (9 - x))}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x - 9}$

Paso 4.4

Combina $x$ y $\frac{4 ((9 + x) (9 - x))}{- x - 9}$ .

$\frac{x (4 ((9 + x) (9 - x)))}{- x - 9} \cdot \frac{3 x}{x - 9}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{x (4 ((9 + x) (9 - x)))}{- x - 9}$ por $\frac{3 x}{x - 9}$ .

$\frac{x (4 ((9 + x) (9 - x))) (3 x)}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 1} (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} (4 ((9 + x) (9 - x))) \cdot 3}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 8.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{x^{2} (12 ((9 + x) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 9

Cancela el factor común de $9 + x$ y $- x - 9$ .

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Paso 9.1

Reescribe $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{x^{2} (12 ((- 1 (- 9) + x) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 9.2

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{x^{2} (12 ((- 1 (- 9) - 1 (- x)) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 9.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 9) - 1 (- x)$ .

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 9 - x) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 9.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- x - 9) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 9.5

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- x - 9) (9 - x)))}{(- x - 9) (x - 9)}$

Paso 9.6

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (9 - x)))}{x - 9}$

Paso 10

Cancela el factor común de $9 - x$ y $x - 9$ .

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Paso 10.1

Reescribe $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (- 9) - x)))}{x - 9}$

Paso 10.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (- 9) - (x))))}{x - 9}$

Paso 10.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 9) - (x)$ .

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (- 9 + x))))}{x - 9}$

Paso 10.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (x - 9))))}{x - 9}$

Paso 10.5

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (12 (- 1 (- 1 (x - 9))))}{x - 9}$

Paso 10.6

Divide $x^{2} (12 (- 1 \cdot (- 1)))$ por $1$ .

$x^{2} (12 (- 1 \cdot (- 1)))$

Paso 11

Multiplica $12 (- 1 \cdot (- 1))$ .

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Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} (12 \cdot 1)$

Paso 11.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$x^{2} \cdot 12$

Paso 12

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$12 x^{2}$