Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $3$ .

$- 1, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} + 4 x + 4} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 3

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2} + 4 x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x (x) + 4 x}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 3.2

Factoriza $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x (x) + 2 x (2)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 3.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (2)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x (x + 2)}{x^{2} - 4 x + 3}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} - 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 3, - 1$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{2 x (x + 2)}{(x - 3) (x - 1)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{(x - 1) (x + 4) (2 x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x - 3) (x - 1))}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x + 4) (2 x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} ((x - 3) (x - 1))}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 4) (2 x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 3)}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $x + 2$ y ${(x + 2)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $x + 2$ de $(x + 4) (2 x (x + 2))$ .

$\frac{(x + 2) ((x + 4) (2 x))}{{(x + 2)}^{2} (x - 3)}$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $x + 2$ de ${(x + 2)}^{2} (x - 3)$ .

$\frac{(x + 2) ((x + 4) (2 x))}{(x + 2) ((x + 2) (x - 3))}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 2) ((x + 4) (2 x))}{(x + 2) ((x + 2) (x - 3))}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 4) (2 x)}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 4$ .

$\frac{2 \cdot (x + 4) x}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 5.4.2

Reordena los factores en $\frac{2 (x + 4) x}{(x + 2) (x - 3)}$ .

$\frac{2 x (x + 4)}{(x + 2) (x - 3)}$