Álgebra Ejemplos

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{x^{2} - 36}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{x^{2} - 6^{2}}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$\frac{6 x^{2} - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} - 216$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2}) - 216}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 2.1.2

Factoriza $6$ de $- 216$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot - 36}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 2.1.3

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 6 \cdot - 36$ .

$\frac{6 (x^{2} - 36)}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 2.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} - 6^{2})}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 6$ .

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{x^{2} - 2 x - 48} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - 2 x - 48$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 48$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 8, 6$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{64 - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{8^{2} - x^{2}}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8$ y $b = x$ .

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{x^{2} + 13 x + 40} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 5

Factoriza $x^{2} + 13 x + 40$ con el método AC.

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Paso 5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $40$ y cuya suma es $13$ .

$5, 8$

Paso 5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x + 6$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (x + 6) (x - 6)}{(x - 8) (x + 6)} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(8 + x) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $8 + x$ y $x + 8$ .

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Paso 6.2.1

Reordena los términos.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(x + 8) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{(x + 8) (8 - x)}{(x + 5) (x + 8)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (x - 6)}{x - 8} \cdot \frac{8 - x}{x + 5} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{6 (x - 6)}{x - 8}$ por $\frac{8 - x}{x + 5}$ .

$\frac{6 (x - 6) (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x - 6$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $x - 6$ de $6 (x - 6) (8 - x)$ .

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x + 6) (x - 6)}$

Paso 6.4.2

Factoriza $x - 6$ de $(x + 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x - 6) (x + 6)}$

Paso 6.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 6) (6 (8 - x))}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{(x - 6) (x + 6)}$

Paso 6.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)} \cdot \frac{- x - 5}{x + 6}$

Paso 6.5

Multiplica $\frac{6 (8 - x)}{(x - 8) (x + 5)}$ por $\frac{- x - 5}{x + 6}$ .

$\frac{6 (8 - x) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $8 - x$ y $x - 8$ .

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Paso 6.6.1

Reescribe $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{6 (- 1 (- 8) - x) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.6.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{6 (- 1 (- 8) - (x)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.6.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 8) - (x)$ .

$\frac{6 (- 1 (- 8 + x)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.6.4

Reordena los términos.

$\frac{6 (- 1 (x - 8)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.6.5

Cancela el factor común.

$\frac{6 (- 1 (x - 8)) (- x - 5)}{(x - 8) (x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.6.6

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- x - 5)}{(x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.7

Cancela el factor común de $- x - 5$ y $x + 5$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x) - 5)}{(x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.7.2

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x) - 1 (5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{6 \cdot (- 1) (- (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.7.4

Reescribe $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{6 \cdot (- 1) (- 1 (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.7.5

Cancela el factor común.

$\frac{6 \cdot (- 1) (- 1 (x + 5))}{(x + 5) (x + 6)}$

Paso 6.7.6

Reescribe la expresión.

$\frac{6 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}{x + 6}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{- 6 \cdot - 1}{x + 6}$

Paso 7.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{6}{x + 6}$