Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}} < 0$

Paso 1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{3} = 0$

$x - 2 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 3

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 6

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = 2$

$x = - 3$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 0, 2, - 3$

Paso 9

Obtén el dominio de $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x^{3} (x - 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 9.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 6)}^{3} ((- 6) - 2)}{{((- 6) + 3)}^{2}} < 0$

Paso 11.1.3

$192$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\frac{{(- 2)}^{3} ((- 2) - 2)}{{((- 2) + 3)}^{2}} < 0$

Paso 11.2.3

$32$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

$\frac{{(1)}^{3} ((1) - 2)}{{((1) + 3)}^{2}} < 0$

Paso 11.3.3

$- 0.0625$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{{(4)}^{3} ((4) - 2)}{{((4) + 3)}^{2}} < 0$

Paso 11.4.3

$2.61224489$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 2$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < 2$

Notación de intervalo:

$(0, 2)$

Paso 14