Álgebra Ejemplos

$x^{3} + 2 x^{2} + x = 0$

Paso 1

Factoriza el MCD de $x$ de $x^{3} + 2 x^{2} + x$ .

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Paso 1.1

Factoriza el MCD de $x$ de cada término en el polinomio.

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Paso 1.1.1

Factoriza el MCD de $x$ de la expresión $x^{3}$ .

$x (x^{2}) + 2 x^{2} + x$

Paso 1.1.2

Factoriza el MCD de $x$ de la expresión $2 x^{2}$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x$

Paso 1.1.3

Factoriza el MCD de $x$ de la expresión $x$ .

$x (x^{2}) + x (2 x) + x (1)$

Paso 1.2

Como todos los términos comparten un factor común de $x$ , se puede factorizar fuera de cada término.

$x (x^{2} + 2 x + 1)$

Paso 2

Aplica la regla de Descartes en la expresión interior $x^{2} + 2 x + 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1$

Paso 3

Para obtener el número posible de raíces positivas, mira los signos en los coeficientes y cuenta la cantidad de veces que los signos en los coeficientes cambian de positivo a negativo o de negativo a positivo.

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

Paso 4

Como hay $0$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $0$ raíces positivas (regla de los signos de Descartes).

Raíces positivas: $0$

Paso 5

Para obtener el número posible de raíces negativas, reemplaza $x$ por $- x$ y repite la comparación del signo.

$f (- x) = {(- x)}^{2} + 2 (- x) + 1$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} + 2 (- x) + 1$

Paso 6.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- x) = 1 x^{2} + 2 (- x) + 1$

Paso 6.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = x^{2} + 2 (- x) + 1$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f (- x) = x^{2} - 2 x + 1$

Paso 7

Como hay $2$ cambios de signos desde el término de mayor orden hasta el de menor orden, hay como máximo $2$ raíces negativas (regla de los signos de Descartes). Los otros números posibles de las raíces negativas se obtienen mediante la resta de los pares de raíces (por ej., $2 - 2$ ).

Raíces negativas: $2$ o $0$

Paso 8

El número posible de raíces positivas es $0$ y el número posible de raíces negativas es $2$ o $0$ .

Raíces positivas: $0$

Raíces negativas: $2$ o $0$