Álgebra Ejemplos

$- 2 x^{2} - 25 x < 5 x + 108$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 2 x^{2} - 25 x - 5 x < 108$

Paso 1.2

Resta $5 x$ de $- 25 x$ .

$- 2 x^{2} - 30 x < 108$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$- 2 x^{2} - 30 x = 108$

Paso 3

Resta $108$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} - 30 x - 108 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2} - 30 x - 108$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} - 30 x - 108 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $- 2$ de $- 30 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (15 x) - 108 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $- 2$ de $- 108$ .

$- 2 x^{2} - 2 (15 x) - 2 \cdot 54 = 0$

Paso 4.1.4

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2}) - 2 (15 x)$ .

$- 2 (x^{2} + 15 x) - 2 \cdot 54 = 0$

Paso 4.1.5

Factoriza $- 2$ de $- 2 (x^{2} + 15 x) - 2 (54)$ .

$- 2 (x^{2} + 15 x + 54) = 0$

Paso 4.2

Factoriza.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2} + 15 x + 54$ con el método AC.

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Paso 4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $54$ y cuya suma es $15$ .

$6, 9$

Paso 4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 2 ((x + 6) (x + 9)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 2 (x + 6) (x + 9) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Paso 6

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 6.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 7

Establece $x + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 9$ igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Paso 7.2

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 9$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 2 (x + 6) (x + 9) = 0$ verdadera.

$x = - 6, - 9$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 9$

$- 9 < x < - 6$

$x > - 6$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 12$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 12$ en la desigualdad original.

$- 2 {(- 12)}^{2} - 25 \cdot - 12 < 5 (- 12) + 108$

Paso 10.1.3

$12$ del lado izquierdo es menor que $48$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 9 < x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 9 < x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$- 2 {(- 8)}^{2} - 25 \cdot - 8 < 5 (- 8) + 108$

Paso 10.2.3

$72$ del lado izquierdo no es menor que $68$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- 2 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 < 5 (0) + 108$

Paso 10.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $108$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 9$ Verdadero

$- 9 < x < - 6$ Falso

$x > - 6$ Verdadero

$x < - 9$ Verdadero

$- 9 < x < - 6$ Falso

$x > - 6$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 9$ o $x > - 6$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 9 or x > - 6$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 9) \cup (- 6, \infty)$

Paso 13