Álgebra Ejemplos

$2 x^{2} + 24 x \leq - 8 x - 120$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.1

Suma $8 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$2 x^{2} + 24 x + 8 x \leq - 120$

Paso 1.2

Suma $24 x$ y $8 x$ .

$2 x^{2} + 32 x \leq - 120$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 32 x = - 120$

Paso 3

Suma $120$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + 32 x + 120 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 32 x + 120$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 32 x + 120 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza $2$ de $32 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (16 x) + 120 = 0$

Paso 4.1.3

Factoriza $2$ de $120$ .

$2 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Paso 4.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (16 x)$ .

$2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60 = 0$

Paso 4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + 16 x) + 2 \cdot 60$ .

$2 (x^{2} + 16 x + 60) = 0$

Paso 4.2

Factoriza.

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Paso 4.2.1

Factoriza $x^{2} + 16 x + 60$ con el método AC.

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Paso 4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $60$ y cuya suma es $16$ .

$6, 10$

Paso 4.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x + 6) (x + 10)) = 0$

Paso 4.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x + 6) (x + 10) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

$x + 10 = 0$

Paso 6

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 6.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 7

Establece $x + 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 10$ igual a $0$ .

$x + 10 = 0$

Paso 7.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 10$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x + 6) (x + 10) = 0$ verdadera.

$x = - 6, - 10$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 10$

$- 10 < x < - 6$

$x > - 6$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 12$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 12$ en la desigualdad original.

$2 {(- 12)}^{2} + 24 (- 12) \leq - 8 \cdot - 12 - 120$

Paso 10.1.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 24$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 10 < x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 10 < x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$2 {(- 8)}^{2} + 24 (- 8) \leq - 8 \cdot - 8 - 120$

Paso 10.2.3

$- 64$ del lado izquierdo es menor que $- 56$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} + 24 (0) \leq - 8 \cdot 0 - 120$

Paso 10.3.3

$0$ del lado izquierdo es mayor que $- 120$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < - 6$ Verdadero

$x > - 6$ Falso

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < - 6$ Verdadero

$x > - 6$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 10 \leq x \leq - 6$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 10 \leq x \leq - 6$

Notación de intervalo:

$[- 10, - 6]$

Paso 13