Álgebra Ejemplos

Simplificar $\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} + 6 x}{x^{2} - x}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 6 x}$

Paso 4.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x \cdot x - x}{x^{2} + 6 x}$

Paso 4.2.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{x^{2} + 6 x}$

Paso 4.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x^{2} + 6 x}$

Paso 4.3

Factoriza $x$ de $x^{2} + 6 x$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x \cdot x + 6 x}$

Paso 4.3.2

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x \cdot x + x \cdot 6}$

Paso 4.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x + 6)}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $x - 1$ de $x (x - 1)$ .

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) x}{x (x + 6)}$

Paso 4.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{x + 2}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) x}{x (x + 6)}$

Paso 4.4.3

Reescribe la expresión.

$(x + 2) \frac{x}{x (x + 6)}$

Paso 4.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.5.1

Cancela el factor común.

$(x + 2) \frac{x}{x (x + 6)}$

Paso 4.5.2

Reescribe la expresión.

$(x + 2) \frac{1}{x + 6}$

Paso 4.6

Multiplica $x + 2$ por $\frac{1}{x + 6}$ .

$\frac{x + 2}{x + 6}$