Álgebra Ejemplos

$\frac{d - 4}{d^{2} + 2 d - 8} - \frac{d + 2}{d^{2} - 16}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $d^{2} + 2 d - 8$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $2$ .

$- 2, 4$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} - \frac{d + 2}{d^{2} - 16}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} - \frac{d + 2}{d^{2} - 4^{2}}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = d$ y $b = 4$ .

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} - \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{d - 4}{d - 4}$ .

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} \cdot \frac{d - 4}{d - 4} - \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{d - 2}{d - 2}$ .

$\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)} \cdot \frac{d - 4}{d - 4} - \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)} \cdot \frac{d - 2}{d - 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(d - 2) (d + 4) (d - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{d - 4}{(d - 2) (d + 4)}$ por $\frac{d - 4}{d - 4}$ .

$\frac{(d - 4) (d - 4)}{(d - 2) (d + 4) (d - 4)} - \frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)} \cdot \frac{d - 2}{d - 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{d + 2}{(d + 4) (d - 4)}$ por $\frac{d - 2}{d - 2}$ .

$\frac{(d - 4) (d - 4)}{(d - 2) (d + 4) (d - 4)} - \frac{(d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 4) (d - 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(d - 2) (d + 4) (d - 4)$ .

$\frac{(d - 4) (d - 4)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)} - \frac{(d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 4) (d - 2)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(d + 4) (d - 4) (d - 2)$ .

$\frac{(d - 4) (d - 4)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)} - \frac{(d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(d - 4) (d - 4) - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(d - 4) (d - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d (d - 4) - 4 (d - 4) - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d \cdot d + d \cdot - 4 - 4 (d - 4) - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d \cdot d + d \cdot - 4 - 4 d - 4 \cdot - 4 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $d$ por $d$ .

$\frac{d^{2} + d \cdot - 4 - 4 d - 4 \cdot - 4 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $d$ .

$\frac{d^{2} - 4 \cdot d - 4 d - 4 \cdot - 4 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{d^{2} - 4 d - 4 d + 16 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.2.2

Resta $4 d$ de $- 4 d$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - (d + 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 + (- d - 1 \cdot 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 + (- d - 2) (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.5

Expande $(- d - 2) (d - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d (d - 2) - 2 (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d \cdot d - d \cdot - 2 - 2 (d - 2)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d \cdot d - d \cdot - 2 - 2 d - 2 \cdot - 2}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1.1

Multiplica $d$ por $d$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.1.1

Mueve $d$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - (d \cdot d) - d \cdot - 2 - 2 d - 2 \cdot - 2}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.6.1.1.2

Multiplica $d$ por $d$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} - d \cdot - 2 - 2 d - 2 \cdot - 2}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} + 2 d - 2 d - 2 \cdot - 2}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.6.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} + 2 d - 2 d + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.6.2

Resta $2 d$ de $2 d$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} + 0 + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.6.3

Suma $- d^{2}$ y $0$ .

$\frac{d^{2} - 8 d + 16 - d^{2} + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.7

Resta $d^{2}$ de $d^{2}$ .

$\frac{- 8 d + 16 + 0 + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.8

Suma $- 8 d$ y $0$ .

$\frac{- 8 d + 16 + 4}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.9

Suma $16$ y $4$ .

$\frac{- 8 d + 20}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.10

Factoriza $4$ de $- 8 d + 20$ .

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Paso 6.10.1

Factoriza $4$ de $- 8 d$ .

$\frac{4 (- 2 d) + 20}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.10.2

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{4 (- 2 d) + 4 (5)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 6.10.3

Factoriza $4$ de $4 (- 2 d) + 4 (5)$ .

$\frac{4 (- 2 d + 5)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 d$ .

$\frac{4 (- (2 d) + 5)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 7.2

Reescribe $5$ como $- 1 (- 5)$ .

$\frac{4 (- (2 d) - 1 (- 5))}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 d) - 1 (- 5)$ .

$\frac{4 (- (2 d - 5))}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Reescribe $- (2 d - 5)$ como $- 1 (2 d - 5)$ .

$\frac{4 (- 1 (2 d - 5))}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$

Paso 7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (2 d - 5)}{(d + 4) (d - 2) (d - 4)}$