Álgebra Ejemplos

$3 x^{\frac{16}{5}} - 192 x^{2} = 0$

Paso 1

Obtén un factor común $x^{2}$ que esté presente en cada término.

$3 {(x^{2})}^{\frac{8}{5}} - 192 x^{2}$

Paso 2

Sustituye $u$ por $x^{2}$ .

$3 {(u)}^{\frac{8}{5}} - 192 u = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Factoriza $3 u$ de $3 u^{\frac{8}{5}} - 192 u$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $3 u$ de $3 u^{\frac{8}{5}}$ .

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) - 192 u = 0$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $3 u$ de $- 192 u$ .

$3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64) = 0$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $3 u$ de $3 u (u^{\frac{3}{5}}) + 3 u (- 64)$ .

$3 u (u^{\frac{3}{5}} - 64) = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $u^{\frac{3}{5}}$ como ${(u^{\frac{1}{5}})}^{3}$ .

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 64) = 0$

Paso 3.1.3

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

$3 u ({(u^{\frac{1}{5}})}^{3} - 4^{3}) = 0$

Paso 3.1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = u^{\frac{1}{5}}$ y $b = 4$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) ({(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza.

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Paso 3.1.5.1

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

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Paso 3.1.5.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{1}{5} \cdot 2} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 3.1.5.1.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $2$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + u^{\frac{1}{5}} \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Paso 3.1.5.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u^{\frac{1}{5}}$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 4^{2})) = 0$

Paso 3.1.5.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (u^{\frac{2}{5}} + 4 u^{\frac{1}{5}} + 16)) = 0$

Paso 3.1.5.1.4

Reordena los términos.

$3 u ((u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16)) = 0$

Paso 3.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

Paso 3.3

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 3.4

Establece $u^{\frac{1}{5}} - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.4.1

Establece $u^{\frac{1}{5}} - 4$ igual a $0$ .

$u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $u^{\frac{1}{5}} - 4 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{\frac{1}{5}} = 4$

Paso 3.4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = 4^{5}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Simplifica ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Paso 3.4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 4^{5}$

Paso 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{1} = 4^{5}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$u = 4^{5}$

Paso 3.4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$u = 1024$

Paso 3.5

Establece $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16$ igual a $0$ .

$4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.5.2.1

Obtén un factor común $u^{\frac{1}{5}}$ que esté presente en cada término.

$4 u^{\frac{1}{5}} {(u^{\frac{1}{5}})}^{2} + 16$

Paso 3.5.2.2

Sustituye $u$ por $u^{\frac{1}{5}}$ .

$4 (u) {(u)}^{2} + 16 = 0$

Paso 3.5.2.3

Resuelve $u$

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Paso 3.5.2.3.1

Multiplica $u$ por ${(u)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Mueve ${(u)}^{2}$ .

$4 ({(u)}^{2} u) + 16 = 0$

Paso 3.5.2.3.1.2

Multiplica ${(u)}^{2}$ por $u$ .

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$4 ({(u)}^{2} u^{1}) + 16 = 0$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 u^{2 + 1} + 16 = 0$

Paso 3.5.2.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$4 u^{3} + 16 = 0$

Paso 3.5.2.3.2

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$4 u^{3} = - 16$

Paso 3.5.2.3.3

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$4 u^{3} + 16 = 0$

Paso 3.5.2.3.4

Factoriza $4$ de $4 u^{3} + 16$ .

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Paso 3.5.2.3.4.1

Factoriza $4$ de $4 u^{3}$ .

$4 (u^{3}) + 16 = 0$

Paso 3.5.2.3.4.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$4 u^{3} + 4 \cdot 4 = 0$

Paso 3.5.2.3.4.3

Factoriza $4$ de $4 u^{3} + 4 \cdot 4$ .

$4 (u^{3} + 4) = 0$

Paso 3.5.2.3.5

Divide cada término en $4 (u^{3} + 4) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.3.5.1

Divide cada término en $4 (u^{3} + 4) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 3.5.2.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.3.5.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.5.2.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (u^{3} + 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 3.5.2.3.5.2.1.2

Divide $u^{3} + 4$ por $1$ .

$u^{3} + 4 = \frac{0}{4}$

Paso 3.5.2.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.5.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$u^{3} + 4 = 0$

Paso 3.5.2.3.6

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{3} = - 4$

Paso 3.5.2.3.7

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$u = \sqrt[3]{- 4}$

Paso 3.5.2.3.8

Simplifica $\sqrt[3]{- 4}$ .

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Paso 3.5.2.3.8.1

Reescribe $- 4$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 4$ .

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Paso 3.5.2.3.8.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$u = \sqrt[3]{- 1 (4)}$

Paso 3.5.2.3.8.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 4}$

Paso 3.5.2.3.8.2

Retira los términos de abajo del radical.

$u = - 1 \sqrt[3]{4}$

Paso 3.5.2.3.8.3

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{4}$ como $- \sqrt[3]{4}$ .

$u = - \sqrt[3]{4}$

Paso 3.5.2.4

Sustituye $u$ por $u$ .

$u^{\frac{1}{5}} = - \sqrt[3]{4}$

Paso 3.5.2.5

Resuelve $u$

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Paso 3.5.2.5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $5$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(u^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Paso 3.5.2.5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 3.5.2.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.5.2.1.1

Simplifica ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.5.2.5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.5.2.5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Paso 3.5.2.5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.5.2.5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Paso 3.5.2.5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{1} = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Paso 3.5.2.5.2.1.1.2

Simplifica.

$u = {(- \sqrt[3]{4})}^{5}$

Paso 3.5.2.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.5.2.2.1

Simplifica ${(- \sqrt[3]{4})}^{5}$ .

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Paso 3.5.2.5.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt[3]{4}$ .

$u = {(- 1)}^{5} {\sqrt[3]{4}}^{5}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$u = - {\sqrt[3]{4}}^{5}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{4}}^{5}$ como $\sqrt[3]{4^{5}}$ .

$u = - \sqrt[3]{4^{5}}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.4

Eleva $4$ a la potencia de $5$ .

$u = - \sqrt[3]{1024}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.5

Reescribe $1024$ como $8^{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.5.2.5.2.2.1.5.1

Factoriza $512$ de $1024$ .

$u = - \sqrt[3]{512 (2)}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.5.2

Reescribe $512$ como $8^{3}$ .

$u = - \sqrt[3]{8^{3} \cdot 2}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$u = - (8 \sqrt[3]{2})$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.7

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$u = - 8 \sqrt[3]{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 u (u^{\frac{1}{5}} - 4) (4 u^{\frac{1}{5}} + u^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$ verdadera.

$u = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

Paso 4

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{2} = 0, 1024, - 8 \sqrt[3]{2}$

Paso 5

Resuelve para $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Resuelve para $x^{2} = 1024$ en $x$ .

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Paso 6.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1024}$

Paso 6.2

Simplifica $\pm \sqrt{1024}$ .

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Paso 6.2.1

Reescribe $1024$ como $32^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{32^{2}}$

Paso 6.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 32$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 32$

Paso 6.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 32$

Paso 6.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 32, - 32$

Paso 7

Resuelve para $x^{2} = - 8 \sqrt[3]{2}$ en $x$ .

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Paso 7.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$

Paso 7.2

Simplifica $\pm \sqrt{- 8 \sqrt[3]{2}}$ .

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Paso 7.2.1

Reescribe $- 8 \sqrt[3]{2}$ como ${(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})$ .

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Paso 7.2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 8$ .

$x = \pm \sqrt{- 4 (2) \sqrt[3]{2}}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe $- 4$ como ${(2 i)}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}$

Paso 7.2.1.3

Agrega paréntesis.

$x = \pm \sqrt{{(2 i)}^{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2})}$

Paso 7.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Paso 7.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Paso 7.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = 0, 32, - 32, 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}, - 2 i \sqrt{2 \sqrt[3]{2}}$