Álgebra Ejemplos

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \csc (θ) \sec (θ)$

Paso 1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1

Simplifica $\csc (θ) \sec (θ)$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe $\csc (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Paso 1.1.2

Reescribe $\sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Paso 1.1.3

Multiplica $\frac{1}{\sin (θ)}$ por $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ .

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Paso 4.1

Cancela el factor común.

$\cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 4.2

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 5

Multiplica $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Paso 5.1

Combina $\cos (θ)$ y $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 5.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 5.3

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $\cos (θ)$ de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \frac{1}{\sin (θ)}$

Paso 7

Resta $\frac{1}{\sin (θ)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} = 0$

Paso 8

Simplifica $\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ) - 1}{\sin (θ)} = 0$

Paso 8.2

Reordena $\cos^{2} (θ)$ y $- 1$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Paso 8.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Paso 8.4

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Paso 8.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ .

$\sin (θ) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Paso 8.6

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ como $- (1 - \cos^{2} (θ))$ .

$\sin (θ) + \frac{- (1 - \cos^{2} (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Paso 8.7

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin (θ) + \frac{- \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)} = 0$

Paso 8.8

Cancela el factor común de $\sin^{2} (θ)$ y $\sin (θ)$ .

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Paso 8.8.1

Factoriza $\sin (θ)$ de $- \sin^{2} (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ)} = 0$

Paso 8.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.8.2.1

Multiplica por $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Paso 8.8.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (θ) + \frac{\sin (θ) (- \sin (θ))}{\sin (θ) \cdot 1} = 0$

Paso 8.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (θ) + \frac{- \sin (θ)}{1} = 0$

Paso 8.8.2.4

Divide $- \sin (θ)$ por $1$ .

$\sin (θ) - \sin (θ) = 0$

Paso 8.9

Resta $\sin (θ)$ de $\sin (θ)$ .

$0 = 0$

Paso 9

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Siempre verdadero

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Siempre verdadero

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$