Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(x^{2} + 2)}^{2} + 3$

Paso 1

Identifica el grado de la función.

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Paso 1.1

Simplifica y reordena el polinomio.

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe ${(x^{2} + 2)}^{2}$ como $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} + 2) + 3$

Paso 1.1.1.2

Expande $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Paso 1.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Paso 1.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 1.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 1.1.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 1.1.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 1.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 + 3$

Paso 1.1.1.3.2

Suma $2 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 3$

Paso 1.1.2

Suma $4$ y $3$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 7$

Paso 1.2

Identifica los exponentes de las variables en cada término y súmalos para obtener el grado de cada término.

$x^{4} \to 4$

$4 x^{2} \to 2$

$7 \to 0$

Paso 1.3

El mayor exponente es el grado del polinomio.

$4$

Paso 2

Como el grado es par, los extremos de la función apuntarán hacia la misma dirección.

Par

Paso 3

Identifica el coeficiente principal.

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Paso 3.1

Simplifica el polinomio, luego reordénalo de izquierda a derecha, comienza por el término de mayor grado.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Reescribe ${(x^{2} + 2)}^{2}$ como $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2} + 2) + 3$

Paso 3.1.1.2

Expande $(x^{2} + 2) (x^{2} + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (x^{2} + 2) + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Paso 3.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 (x^{2} + 2) + 3$

Paso 3.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 3.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.3.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 3.1.1.3.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 3.1.1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 \cdot x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot 2 + 3$

Paso 3.1.1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 4 + 3$

Paso 3.1.1.3.2

Suma $2 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 4 + 3$

Paso 3.1.2

Suma $4$ y $3$ .

$x^{4} + 4 x^{2} + 7$

Paso 3.2

El término de mayor grado en un polinomio es el término que tiene el grado más alto.

$x^{4}$

Paso 3.3

El coeficiente principal en un polinomio es el coeficiente del término de mayor grado.

$1$

Paso 4

Como el coeficiente principal es positivo, la gráfica se eleva a la derecha.

Positivo

Paso 5

Usa el grado de la función, además del signo del coeficiente principal, para determinar el comportamiento.

1. Par y positivo: se eleva a la izquierda y se eleva a la derecha.

2. Par y negativo: cae a la izquierda y cae a la derecha.

3. Impar y positivo: cae a la izquierda y se eleva a la derecha.

4. Impar y negativo: se eleva a la izquierda y cae a la derecha.

Paso 6

Determina el comportamiento.

Se eleva a la izquierda y se eleva a la derecha

Paso 7