Álgebra Ejemplos

$\frac{3 y}{y^{2} - 17 y + 72} + \frac{12}{y^{2} - 81} - \frac{11}{y^{2} + y - 72}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $y^{2} - 17 y + 72$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $72$ y cuya suma es $- 17$ .

$- 9, - 8$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} + \frac{12}{y^{2} - 81} - \frac{11}{y^{2} + y - 72}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} + \frac{12}{y^{2} - 9^{2}} - \frac{11}{y^{2} + y - 72}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y$ y $b = 9$ .

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} - \frac{11}{y^{2} + y - 72}$

Paso 1.3

Factoriza $y^{2} + y - 72$ con el método AC.

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Paso 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 72$ y cuya suma es $1$ .

$- 8, 9$

Paso 1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Paso 2

Obtén el denominador común

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)}$ por $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)} \cdot \frac{y + 9}{y + 9} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{3 y}{(y - 9) (y - 8)}$ por $\frac{y + 9}{y + 9}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{12}{(y + 9) (y - 9)}$ por $\frac{y - 8}{y - 8}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12}{(y + 9) (y - 9)} \cdot \frac{y - 8}{y - 8} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{12}{(y + 9) (y - 9)}$ por $\frac{y - 8}{y - 8}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 9) (y - 8)} - \frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$ por $\frac{y - 9}{y - 9}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 9) (y - 8)} - (\frac{11}{(y - 8) (y + 9)} \cdot \frac{y - 9}{y - 9})$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{11}{(y - 8) (y + 9)}$ por $\frac{y - 9}{y - 9}$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 9) (y - 8)} - \frac{11 (y - 9)}{(y - 8) (y + 9) (y - 9)}$

Paso 2.7

Reordena los factores de $(y + 9) (y - 9) (y - 8)$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)} - \frac{11 (y - 9)}{(y - 8) (y + 9) (y - 9)}$

Paso 2.8

Reordena los factores de $(y - 8) (y + 9) (y - 9)$ .

$\frac{3 y (y + 9)}{(y - 9) (y - 8) (y + 9)} + \frac{12 (y - 8)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)} - \frac{11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 y (y + 9) + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y \cdot y + 3 y \cdot 9 + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 4.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 9 + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 4.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{3 y^{2} + 3 y \cdot 9 + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 4.3

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 (y - 8) - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 y + 12 \cdot - 8 - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 4.5

Multiplica $12$ por $- 8$ .

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 y - 96 - 11 (y - 9)}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 y - 96 - 11 y - 11 \cdot - 9}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 4.7

Multiplica $- 11$ por $- 9$ .

$\frac{3 y^{2} + 27 y + 12 y - 96 - 11 y + 99}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 5

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.1

Suma $27 y$ y $12 y$ .

$\frac{3 y^{2} + 39 y - 96 - 11 y + 99}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 5.2

Resta $11 y$ de $39 y$ .

$\frac{3 y^{2} + 28 y - 96 + 99}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$

Paso 5.3

Suma $- 96$ y $99$ .

$\frac{3 y^{2} + 28 y + 3}{(y + 9) (y - 8) (y - 9)}$