Álgebra Ejemplos

$\frac{7}{x + 5} \leq \frac{8}{x + 6}$

Paso 1

Resta $\frac{8}{x + 6}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{7}{x + 5} - \frac{8}{x + 6}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{7}{x + 5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \leq 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{8}{x + 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7}{x + 5} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 5) (x + 6)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{7}{x + 5}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8}{x + 6} \cdot \frac{x + 5}{x + 5} \leq 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{8}{x + 6}$ por $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 6) (x + 5)} \leq 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x + 6) (x + 5)$ .

$\frac{7 (x + 6)}{(x + 5) (x + 6)} - \frac{8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 (x + 6) - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot 6 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $7$ por $6$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 (x + 5)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 8 \cdot 5}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 8$ por $5$ .

$\frac{7 x + 42 - 8 x - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.5.5

Resta $8 x$ de $7 x$ .

$\frac{- x + 42 - 40}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.5.6

Resta $40$ de $42$ .

$\frac{- x + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.7

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2)}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 5

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 6

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 2$

$x = - 5$

$x = - 6$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 2, - 5, - 6$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ .

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Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x - 2}{(x + 5) (x + 6)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 5) (x + 6) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

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Paso 9.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 9.2.2

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 9.2.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 9.2.3

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 9.2.3.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 9.2.3.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 9.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 5) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = - 5, - 6$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$x > 2$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$\frac{7}{(- 8) + 5} \leq \frac{8}{(- 8) + 6}$

Paso 11.1.3

$- 2.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $- 4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 5.5$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 5.5$ en la desigualdad original.

$\frac{7}{(- 5.5) + 5} \leq \frac{8}{(- 5.5) + 6}$

Paso 11.2.3

$- 14$ del lado izquierdo es menor que $16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{7}{(0) + 5} \leq \frac{8}{(0) + 6}$

Paso 11.3.3

$1.4$ del lado izquierdo es mayor que $1.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{7}{(4) + 5} \leq \frac{8}{(4) + 6}$

Paso 11.4.3

$0.\overline{7}$ del lado izquierdo es menor que $0.8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 6 < x < - 5$ o $x \geq 2$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 6 < x < - 5 or x \geq 2$

Notación de intervalo:

$(- 6, - 5) \cup [2, \infty)$

Paso 14