Álgebra Ejemplos

$2 x^{3} - 18 x < x^{2} - 9$

Paso 1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x^{3} - 18 x - x^{2} < - 9$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{3} - 18 x - x^{2} = - 9$

Paso 3

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{3} - 18 x - x^{2} + 9 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$2 x^{3} - x^{2} - 18 x + 9 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{3} - x^{2}) - 18 x + 9 = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (2 x - 1) - 9 (2 x - 1) = 0$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 9) = 0$

Paso 4.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(2 x - 1) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 4.5

Factoriza.

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Paso 4.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(2 x - 1) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 4.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 6

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 7

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 7.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 8

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 8.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - 3, 3$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 3$

$x > 3$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$2 {(- 6)}^{3} - 18 \cdot - 6 < {(- 6)}^{2} - 9$

Paso 11.1.3

$- 324$ del lado izquierdo es menor que $27$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{3} - 18 \cdot 0 < {(0)}^{2} - 9$

Paso 11.2.3

$0$ del lado izquierdo no es menor que $- 9$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$2 {(2)}^{3} - 18 \cdot 2 < {(2)}^{2} - 9$

Paso 11.3.3

$- 20$ del lado izquierdo es menor que $- 5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$2 {(6)}^{3} - 18 \cdot 6 < {(6)}^{2} - 9$

Paso 11.4.3

$324$ del lado izquierdo no es menor que $27$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 3$ o $\frac{1}{2} < x < 3$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 3 or \frac{1}{2} < x < 3$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, 3)$

Paso 14