Álgebra Ejemplos

$\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{12} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Paso 1

Resuelve $\sqrt{3 x^{2}}$

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Paso 1.1

Simplifica $\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{12} + 2 x \sqrt{75}$ .

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.1.1.1.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{4 (3)} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Paso 1.1.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{2^{2} \cdot 3} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Paso 1.1.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{3 x^{2}} - x (2 \sqrt{3}) + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Paso 1.1.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$

Paso 1.1.1.4

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 2 x \sqrt{25 (3)} = \sqrt{3}$

Paso 1.1.1.4.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 2 x \sqrt{5^{2} \cdot 3} = \sqrt{3}$

Paso 1.1.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 2 x (5 \sqrt{3}) = \sqrt{3}$

Paso 1.1.1.6

Multiplica $5$ por $2$ .

$\sqrt{3 x^{2}} - 2 x \sqrt{3} + 10 x \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Paso 1.1.2

Suma $- 2 x \sqrt{3}$ y $10 x \sqrt{3}$ .

$\sqrt{3 x^{2}} + 8 x \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Paso 1.2

Resta $8 x \sqrt{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3 x^{2}} = \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 x^{2}}}^{2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x^{2}}$ como ${(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 x^{2})}^{1} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$3 x^{2} = {(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})}^{2}$ como $(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$ .

$3 x^{2} = (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} = \sqrt{3} (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} = \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} (\sqrt{3} - 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} = \sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$3 x^{2} = \sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 x^{2} = \sqrt{9} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$3 x^{2} = \sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$3 x^{2} = 3 + \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.5

Multiplica $\sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.5.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} = 3 - 8 x {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x {\sqrt{3}}^{2} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.3.1.3.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3^{1} - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.6.5

Evalúa el exponente.

$3 x^{2} = 3 - 8 x \cdot 3 - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.7

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \sqrt{3} \sqrt{3} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.8

Multiplica $- 8 x \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.8.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.8.4

Suma $1$ y $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x {\sqrt{3}}^{2} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.9

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.3.1.3.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.9.4.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3^{1} - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.9.5

Evalúa el exponente.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 8 x \cdot 3 - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.10

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x - 8 x \sqrt{3} (- 8 x \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.11

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.3.1.11.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x - 8 (x \cdot x) \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.11.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x - 8 x^{2} \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.12

Multiplica $- 8 x^{2} \sqrt{3} (- 8 \sqrt{3})$ .

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Paso 3.3.1.3.1.12.1

Multiplica $- 8$ por $- 8$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 3.3.1.3.1.12.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Paso 3.3.1.3.1.12.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Paso 3.3.1.3.1.12.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.12.5

Suma $1$ y $1$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.13

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.3.1.3.1.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.13.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.13.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.13.4.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.13.4.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.13.5

Evalúa el exponente.

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 64 x^{2} \cdot 3$

Paso 3.3.1.3.1.14

Multiplica $3$ por $64$ .

$3 x^{2} = 3 - 24 x - 24 x + 192 x^{2}$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $24 x$ de $- 24 x$ .

$3 x^{2} = 3 - 48 x + 192 x^{2}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 - 48 x + 192 x^{2} = 3 x^{2}$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 - 48 x + 192 x^{2} - 3 x^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Resta $3 x^{2}$ de $192 x^{2}$ .

$3 - 48 x + 189 x^{2} = 0$

Paso 4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Factoriza $3$ de $3 - 48 x + 189 x^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$3 (1) - 48 x + 189 x^{2} = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza $3$ de $- 48 x$ .

$3 (1) + 3 (- 16 x) + 189 x^{2} = 0$

Paso 4.3.1.3

Factoriza $3$ de $189 x^{2}$ .

$3 (1) + 3 (- 16 x) + 3 (63 x^{2}) = 0$

Paso 4.3.1.4

Factoriza $3$ de $3 (1) + 3 (- 16 x)$ .

$3 (1 - 16 x) + 3 (63 x^{2}) = 0$

Paso 4.3.1.5

Factoriza $3$ de $3 (1 - 16 x) + 3 (63 x^{2})$ .

$3 (1 - 16 x + 63 x^{2}) = 0$

Paso 4.3.2

Factoriza.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.3.2.1.1

Reordena los términos.

$3 (63 x^{2} - 16 x + 1) = 0$

Paso 4.3.2.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 63 \cdot 1 = 63$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 x$ .

$3 (63 x^{2} - 16 x + 1) = 0$

Paso 4.3.2.1.2.2

Reescribe $- 16$ como $- 7$ más $- 9$

$3 (63 x^{2} + (- 7 - 9) x + 1) = 0$

Paso 4.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (63 x^{2} - 7 x - 9 x + 1) = 0$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.3.2.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$3 ((63 x^{2} - 7 x) - 9 x + 1) = 0$

Paso 4.3.2.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 (7 x (9 x - 1) - (9 x - 1)) = 0$

Paso 4.3.2.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 x - 1$ .

$3 ((9 x - 1) (7 x - 1)) = 0$

Paso 4.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (9 x - 1) (7 x - 1) = 0$

Paso 4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$7 x - 1 = 0$

Paso 4.5

Establece $9 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $9 x - 1$ igual a $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $9 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 1$

Paso 4.5.2.2

Divide cada término en $9 x = 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.2.1

Divide cada término en $9 x = 1$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 4.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Paso 4.6

Establece $7 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.6.1

Establece $7 x - 1$ igual a $0$ .

$7 x - 1 = 0$

Paso 4.6.2

Resuelve $7 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$7 x = 1$

Paso 4.6.2.2

Divide cada término en $7 x = 1$ por $7$ y simplifica.

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Paso 4.6.2.2.1

Divide cada término en $7 x = 1$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 4.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 4.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 4.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{7}$

Paso 4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (9 x - 1) (7 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{7}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{3 x^{2}} - x \sqrt{12} + 2 x \sqrt{75} = \sqrt{3}$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{9}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{9}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{1}$