Álgebra Ejemplos

$\sqrt{9 y + 19} - \sqrt{6 y - 5} > 3$

Paso 1

Suma $\sqrt{6 y - 5}$ a ambos lados de la desigualdad.

$\sqrt{9 y + 19} > 3 + \sqrt{6 y - 5}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{9 y + 19}}^{2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{9 y + 19}$ como ${(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(9 y + 19)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 y + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(9 y + 19)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(9 y + 19)}^{1} > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$9 y + 19 > {(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(3 + \sqrt{6 y - 5})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{6 y - 5}) (3 + \sqrt{6 y - 5})$ .

$9 y + 19 > (3 + \sqrt{6 y - 5}) (3 + \sqrt{6 y - 5})$

Paso 3.3.1.2

Expande $(3 + \sqrt{6 y - 5}) (3 + \sqrt{6 y - 5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 19 > 3 (3 + \sqrt{6 y - 5}) + \sqrt{6 y - 5} (3 + \sqrt{6 y - 5})$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 19 > 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} (3 + \sqrt{6 y - 5})$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 y + 19 > 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} \cdot 3 + \sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} \cdot 3 + \sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$

Paso 3.3.1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{6 y - 5}$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \cdot \sqrt{6 y - 5} + \sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$

Paso 3.3.1.3.1.3

Multiplica $\sqrt{6 y - 5} \sqrt{6 y - 5}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{6 y - 5}$ a la potencia de $1$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{1} \sqrt{6 y - 5}$

Paso 3.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{6 y - 5}$ a la potencia de $1$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{1} {\sqrt{6 y - 5}}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{1 + 1}$

Paso 3.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {\sqrt{6 y - 5}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4

Reescribe ${\sqrt{6 y - 5}}^{2}$ como $6 y - 5$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 y - 5}$ como ${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 3.3.1.3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 3.3.1.3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + {(6 y - 5)}^{1}$

Paso 3.3.1.3.1.4.5

Simplifica.

$9 y + 19 > 9 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + 6 y - 5$

Paso 3.3.1.3.2

Resta $5$ de $9$ .

$9 y + 19 > 4 + 3 \sqrt{6 y - 5} + 3 \sqrt{6 y - 5} + 6 y$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $3 \sqrt{6 y - 5}$ y $3 \sqrt{6 y - 5}$ .

$9 y + 19 > 4 + 6 \sqrt{6 y - 5} + 6 y$

Paso 4

Resuelve $6 \sqrt{6 y - 5}$

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Paso 4.1

Reescribe para que $6 \sqrt{6 y - 5}$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$4 + 6 \sqrt{6 y - 5} + 6 y < 9 y + 19$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $6 \sqrt{6 y - 5}$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la desigualdad.

$6 \sqrt{6 y - 5} + 6 y < 9 y + 19 - 4$

Paso 4.2.2

Resta $6 y$ de ambos lados de la desigualdad.

$6 \sqrt{6 y - 5} < 9 y + 19 - 4 - 6 y$

Paso 4.2.3

Resta $6 y$ de $9 y$ .

$6 \sqrt{6 y - 5} < 3 y + 19 - 4$

Paso 4.2.4

Resta $4$ de $19$ .

$6 \sqrt{6 y - 5} < 3 y + 15$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(6 \sqrt{6 y - 5})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6 y - 5}$ como ${(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(6 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $6 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$36 {({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(6 y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$36 {(6 y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$36 {(6 y - 5)}^{1} < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$36 (6 y - 5) < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$36 (6 y) + 36 \cdot - 5 < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.2.1.6.1

Multiplica $6$ por $36$ .

$216 y + 36 \cdot - 5 < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $36$ por $- 5$ .

$216 y - 180 < {(3 y + 15)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(3 y + 15)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Reescribe ${(3 y + 15)}^{2}$ como $(3 y + 15) (3 y + 15)$ .

$216 y - 180 < (3 y + 15) (3 y + 15)$

Paso 6.3.1.2

Expande $(3 y + 15) (3 y + 15)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$216 y - 180 < 3 y (3 y + 15) + 15 (3 y + 15)$

Paso 6.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$216 y - 180 < 3 y (3 y) + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y + 15)$

Paso 6.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$216 y - 180 < 3 y (3 y) + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Paso 6.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$216 y - 180 < 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Paso 6.3.1.3.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.1.3.1.2.1

Mueve $y$ .

$216 y - 180 < 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Paso 6.3.1.3.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$216 y - 180 < 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Paso 6.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 3 y \cdot 15 + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Paso 6.3.1.3.1.4

Multiplica $15$ por $3$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 45 y + 15 (3 y) + 15 \cdot 15$

Paso 6.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $15$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 45 y + 45 y + 15 \cdot 15$

Paso 6.3.1.3.1.6

Multiplica $15$ por $15$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 45 y + 45 y + 225$

Paso 6.3.1.3.2

Suma $45 y$ y $45 y$ .

$216 y - 180 < 9 y^{2} + 90 y + 225$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Reescribe para que $y$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$9 y^{2} + 90 y + 225 > 216 y - 180$

Paso 7.2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 7.2.1

Resta $216 y$ de ambos lados de la desigualdad.

$9 y^{2} + 90 y + 225 - 216 y > - 180$

Paso 7.2.2

Resta $216 y$ de $90 y$ .

$9 y^{2} - 126 y + 225 > - 180$

Paso 7.3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$9 y^{2} - 126 y + 225 = - 180$

Paso 7.4

Suma $180$ a ambos lados de la ecuación.

$9 y^{2} - 126 y + 225 + 180 = 0$

Paso 7.5

Suma $225$ y $180$ .

$9 y^{2} - 126 y + 405 = 0$

Paso 7.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.6.1

Factoriza $9$ de $9 y^{2} - 126 y + 405$ .

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Paso 7.6.1.1

Factoriza $9$ de $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 126 y + 405 = 0$

Paso 7.6.1.2

Factoriza $9$ de $- 126 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 14 y) + 405 = 0$

Paso 7.6.1.3

Factoriza $9$ de $405$ .

$9 y^{2} + 9 (- 14 y) + 9 \cdot 45 = 0$

Paso 7.6.1.4

Factoriza $9$ de $9 y^{2} + 9 (- 14 y)$ .

$9 (y^{2} - 14 y) + 9 \cdot 45 = 0$

Paso 7.6.1.5

Factoriza $9$ de $9 (y^{2} - 14 y) + 9 \cdot 45$ .

$9 (y^{2} - 14 y + 45) = 0$

Paso 7.6.2

Factoriza.

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Paso 7.6.2.1

Factoriza $y^{2} - 14 y + 45$ con el método AC.

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Paso 7.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $45$ y cuya suma es $- 14$ .

$- 9, - 5$

Paso 7.6.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$9 ((y - 9) (y - 5)) = 0$

Paso 7.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$9 (y - 9) (y - 5) = 0$

Paso 7.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 9 = 0$

$y - 5 = 0$

Paso 7.8

Establece $y - 9$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.8.1

Establece $y - 9$ igual a $0$ .

$y - 9 = 0$

Paso 7.8.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 9$

Paso 7.9

Establece $y - 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 7.9.1

Establece $y - 5$ igual a $0$ .

$y - 5 = 0$

Paso 7.9.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 5$

Paso 7.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $9 (y - 9) (y - 5) = 0$ verdadera.

$y = 9, 5$

Paso 8

Obtén el dominio de $\sqrt{9 y + 19} - \sqrt{6 y - 5} - 3$ .

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Paso 8.1

Establece el radicando en $\sqrt{9 y + 19}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$9 y + 19 \geq 0$

Paso 8.2

Resuelve $y$

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Paso 8.2.1

Resta $19$ de ambos lados de la desigualdad.

$9 y \geq - 19$

Paso 8.2.2

Divide cada término en $9 y \geq - 19$ por $9$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.1

Divide cada término en $9 y \geq - 19$ por $9$ .

$\frac{9 y}{9} \geq \frac{- 19}{9}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 y}{9} \geq \frac{- 19}{9}$

Paso 8.2.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y \geq \frac{- 19}{9}$

Paso 8.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y \geq - \frac{19}{9}$

Paso 8.3

Establece el radicando en $\sqrt{6 y - 5}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$6 y - 5 \geq 0$

Paso 8.4

Resuelve $y$

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Paso 8.4.1

Suma $5$ a ambos lados de la desigualdad.

$6 y \geq 5$

Paso 8.4.2

Divide cada término en $6 y \geq 5$ por $6$ y simplifica.

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Paso 8.4.2.1

Divide cada término en $6 y \geq 5$ por $6$ .

$\frac{6 y}{6} \geq \frac{5}{6}$

Paso 8.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 8.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y}{6} \geq \frac{5}{6}$

Paso 8.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y \geq \frac{5}{6}$

Paso 8.5

El dominio son todos los valores de $y$ que hacen que la expresión sea definida.

$[\frac{5}{6}, \infty)$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$y < \frac{5}{6}$

$\frac{5}{6} < y < 5$

$5 < y < 9$

$y > 9$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $y < \frac{5}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $y < \frac{5}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 0$

Paso 10.1.2

Reemplaza $y$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{9 (0) + 19} - \sqrt{6 (0) - 5} > 3$

Paso 10.1.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{5}{6} < y < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{5}{6} < y < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 3$

Paso 10.2.2

Reemplaza $y$ con $3$ en la desigualdad original.

$\sqrt{9 (3) + 19} - \sqrt{6 (3) - 5} > 3$

Paso 10.2.3

$3.1767787$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $5 < y < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $5 < y < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 7$

Paso 10.3.2

Reemplaza $y$ con $7$ en la desigualdad original.

$\sqrt{9 (7) + 19} - \sqrt{6 (7) - 5} > 3$

Paso 10.3.3

$2.9726226$ del lado izquierdo no es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $y > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $y > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$y = 12$

Paso 10.4.2

Reemplaza $y$ con $12$ en la desigualdad original.

$\sqrt{9 (12) + 19} - \sqrt{6 (12) - 5} > 3$

Paso 10.4.3

$3.08407489$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$y < \frac{5}{6}$ Falso

$\frac{5}{6} < y < 5$ Verdadero

$5 < y < 9$ Falso

$y > 9$ Verdadero

$y < \frac{5}{6}$ Falso

$\frac{5}{6} < y < 5$ Verdadero

$5 < y < 9$ Falso

$y > 9$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{5}{6} < y < 5$ o $y > 9$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{5}{6} < y < 5 or y > 9$

Notación de intervalo:

$(\frac{5}{6}, 5) \cup (9, \infty)$

Paso 13