Álgebra Ejemplos

$3 x^{2} - 1 \geq - 2 x$

Paso 1

Suma $2 x$ a ambos lados de la desigualdad.

$3 x^{2} - 1 + 2 x \geq 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 x^{2} - 1 + 2 x = 0$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Reordena los términos.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Paso 3.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Paso 3.2.2

Reescribe $2$ como $- 1$ más $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Paso 3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Paso 3.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Paso 3.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 5

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 6

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 6.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$3 {(- 4)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot - 4$

Paso 9.1.3

$47$ del lado izquierdo es mayor que $8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$3 {(0)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 0$

Paso 9.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{1}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{1}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$3 {(3)}^{2} - 1 \geq - 2 \cdot 3$

Paso 9.3.3

$26$ del lado izquierdo es mayor que $- 6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$x > \frac{1}{3}$ Verdadero

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$x > \frac{1}{3}$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 1$ o $x \geq \frac{1}{3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - 1 or x \geq \frac{1}{3}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 1] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

Paso 12