Álgebra Ejemplos

$(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica $(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5)$ .

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Paso 1.1.1

Expande $(x^{4} + 5 x^{2} - 36) (2 x^{2} + 9 x - 5)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (9 x) + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{4} x^{2} + x^{4} (9 x) + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + x^{4} (9 x) + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{2 + 4} + x^{4} (9 x) + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.2.3

Suma $2$ y $4$ .

$2 x^{6} + x^{4} (9 x) + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{6} + 9 x^{4} x + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.4

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$2 x^{6} + 9 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 1.1.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{6} + 9 (x^{1} x^{4}) + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{6} + 9 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.4.3

Suma $1$ y $4$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} + x^{4} \cdot - 5 + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.5

Mueve $- 5$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 \cdot x^{4} + 5 x^{2} (2 x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 5 \cdot 2 x^{2} x^{2} + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.1.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 5 \cdot 2 (x^{2} x^{2}) + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 5 \cdot 2 x^{2 + 2} + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.7.3

Suma $2$ y $2$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 5 \cdot 2 x^{4} + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.8

Multiplica $5$ por $2$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 5 x^{2} (9 x) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 5 \cdot 9 x^{2} x + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.10

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.1.10.1

Mueve $x$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 5 \cdot 9 (x \cdot x^{2}) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.10.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.10.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 5 \cdot 9 (x^{1} x^{2}) + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 5 \cdot 9 x^{1 + 2} + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.10.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 5 \cdot 9 x^{3} + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.11

Multiplica $5$ por $9$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 45 x^{3} + 5 x^{2} \cdot - 5 - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.12

Multiplica $- 5$ por $5$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 45 x^{3} - 25 x^{2} - 36 (2 x^{2}) - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.13

Multiplica $2$ por $- 36$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 45 x^{3} - 25 x^{2} - 72 x^{2} - 36 (9 x) - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.14

Multiplica $9$ por $- 36$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 45 x^{3} - 25 x^{2} - 72 x^{2} - 324 x - 36 \cdot - 5 = 0$

Paso 1.1.2.1.15

Multiplica $- 36$ por $- 5$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{4} + 45 x^{3} - 25 x^{2} - 72 x^{2} - 324 x + 180 = 0$

Paso 1.1.2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.2.2.1

Suma $- 5 x^{4}$ y $10 x^{4}$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} + 5 x^{4} + 45 x^{3} - 25 x^{2} - 72 x^{2} - 324 x + 180 = 0$

Paso 1.1.2.2.2

Resta $72 x^{2}$ de $- 25 x^{2}$ .

$2 x^{6} + 9 x^{5} + 5 x^{4} + 45 x^{3} - 97 x^{2} - 324 x + 180 = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $2 x^{6} + 9 x^{5} + 5 x^{4} + 45 x^{3} - 97 x^{2} - 324 x + 180$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 180, \pm 2, \pm 90, \pm 3, \pm 60, \pm 4, \pm 45, \pm 5, \pm 36, \pm 6, \pm 30, \pm 9, \pm 20, \pm 10, \pm 18, \pm 12, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 180, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 1.5, \pm 60, \pm 30, \pm 4, \pm 22.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 36, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 4.5, \pm 20, \pm 10, \pm 12, \pm 7.5$

Paso 2.1.3

Sustituye $0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.3.1

Sustituye $0.5$ en el polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{6} + 9 \cdot {0.5}^{5} + 5 \cdot {0.5}^{4} + 45 \cdot {0.5}^{3} - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $6$ .

$2 \cdot 0.015625 + 9 \cdot {0.5}^{5} + 5 \cdot {0.5}^{4} + 45 \cdot {0.5}^{3} - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $0.015625$ .

$0.03125 + 9 \cdot {0.5}^{5} + 5 \cdot {0.5}^{4} + 45 \cdot {0.5}^{3} - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.4

Eleva $0.5$ a la potencia de $5$ .

$0.03125 + 9 \cdot 0.03125 + 5 \cdot {0.5}^{4} + 45 \cdot {0.5}^{3} - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $9$ por $0.03125$ .

$0.03125 + 0.28125 + 5 \cdot {0.5}^{4} + 45 \cdot {0.5}^{3} - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.6

Suma $0.03125$ y $0.28125$ .

$0.3125 + 5 \cdot {0.5}^{4} + 45 \cdot {0.5}^{3} - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.7

Eleva $0.5$ a la potencia de $4$ .

$0.3125 + 5 \cdot 0.0625 + 45 \cdot {0.5}^{3} - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.8

Multiplica $5$ por $0.0625$ .

$0.3125 + 0.3125 + 45 \cdot {0.5}^{3} - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.9

Suma $0.3125$ y $0.3125$ .

$0.625 + 45 \cdot {0.5}^{3} - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.10

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$0.625 + 45 \cdot 0.125 - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.11

Multiplica $45$ por $0.125$ .

$0.625 + 5.625 - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.12

Suma $0.625$ y $5.625$ .

$6.25 - 97 \cdot {0.5}^{2} - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.13

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$6.25 - 97 \cdot 0.25 - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.14

Multiplica $- 97$ por $0.25$ .

$6.25 - 24.25 - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.15

Resta $24.25$ de $6.25$ .

$- 18 - 324 \cdot 0.5 + 180$

Paso 2.1.3.16

Multiplica $- 324$ por $0.5$ .

$- 18 - 162 + 180$

Paso 2.1.3.17

Resta $162$ de $- 18$ .

$- 180 + 180$

Paso 2.1.3.18

Suma $- 180$ y $180$ .

$0$

Paso 2.1.4

Como $0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{6} + 9 x^{5} + 5 x^{4} + 45 x^{3} - 97 x^{2} - 324 x + 180}{2 x - 1}$

Paso 2.1.5

Divide $2 x^{6} + 9 x^{5} + 5 x^{4} + 45 x^{3} - 97 x^{2} - 324 x + 180$ por $2 x - 1$ .

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Paso 2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

Paso 2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{6}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

Paso 2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Paso 2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{6} - x^{5}$ .

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

Paso 2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

Paso 2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

Paso 2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

Paso 2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

Paso 2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x^{5} - 5 x^{4}$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

Paso 2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

Paso 2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

Paso 2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $10 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

Paso 2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

Paso 2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $10 x^{4} - 5 x^{3}$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

Paso 2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

Paso 2.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

Paso 2.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $50 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

Paso 2.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

Paso 2.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $50 x^{3} - 25 x^{2}$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

Paso 2.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

Paso 2.1.5.21

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

Paso 2.1.5.22

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 72 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$36 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

Paso 2.1.5.23

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$36 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$72 x^{2}$

$36 x$

Paso 2.1.5.24

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 72 x^{2} + 36 x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$36 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$72 x^{2}$

$36 x$

Paso 2.1.5.25

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$36 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$72 x^{2}$

$36 x$

$360 x$

Paso 2.1.5.26

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$36 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$72 x^{2}$

$36 x$

$360 x$

$180$

Paso 2.1.5.27

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 360 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$36 x$

$180$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$72 x^{2}$

$36 x$

$360 x$

$180$

Paso 2.1.5.28

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$36 x$

$180$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$72 x^{2}$

$36 x$

$360 x$

$180$

$360 x$

$180$

Paso 2.1.5.29

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 360 x + 180$ .

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$36 x$

$180$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$72 x^{2}$

$36 x$

$360 x$

$180$

$360 x$

$180$

Paso 2.1.5.30

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{5}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$25 x^{2}$

$36 x$

$180$

$2 x$

$1$

$2 x^{6}$

$9 x^{5}$

$5 x^{4}$

$45 x^{3}$

$97 x^{2}$

$324 x$

$180$

$2 x^{6}$

$x^{5}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{5}$

$5 x^{4}$

$10 x^{4}$

$45 x^{3}$

$10 x^{4}$

$5 x^{3}$

$50 x^{3}$

$97 x^{2}$

$50 x^{3}$

$25 x^{2}$

$72 x^{2}$

$324 x$

$72 x^{2}$

$36 x$

$360 x$

$180$

$360 x$

$180$

$0$

Paso 2.1.5.31

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{5} + 5 x^{4} + 5 x^{3} + 25 x^{2} - 36 x - 180$

Paso 2.1.6

Escribe $2 x^{6} + 9 x^{5} + 5 x^{4} + 45 x^{3} - 97 x^{2} - 324 x + 180$ como un conjunto de factores.

$(2 x - 1) (x^{5} + 5 x^{4} + 5 x^{3} + 25 x^{2} - 36 x - 180) = 0$

Paso 2.2

Reagrupa los términos.

$(2 x - 1) (x^{5} + 5 x^{3} - 36 x + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.3

Factoriza $x$ de $x^{5} + 5 x^{3} - 36 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + 5 x^{3} - 36 x + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.3.2

Factoriza $x$ de $5 x^{3}$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) - 36 x + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.3.3

Factoriza $x$ de $- 36 x$ .

$(2 x - 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) + x \cdot - 36 + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.3.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (5 x^{2})$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36 + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.3.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ .

$(2 x - 1) (x (x^{4} + 5 x^{2} - 36) + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(2 x - 1) (x ({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (x (u^{2} + 5 u - 36) + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.6

Factoriza $u^{2} + 5 u - 36$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 36$ y cuya suma es $5$ .

$- 4, 9$

Paso 2.6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(2 x - 1) (x ((u - 4) (u + 9)) + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 9)) + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.8

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(2 x - 1) (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9)) + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.9

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(2 x - 1) (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 x^{4} + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.10

Factoriza $5$ de $5 x^{4} + 25 x^{2} - 180$ .

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Paso 2.10.1

Factoriza $5$ de $5 x^{4}$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 (x^{4}) + 25 x^{2} - 180) = 0$

Paso 2.10.2

Factoriza $5$ de $25 x^{2}$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 (x^{4}) + 5 (5 x^{2}) - 180) = 0$

Paso 2.10.3

Factoriza $5$ de $- 180$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 x^{4} + 5 (5 x^{2}) + 5 \cdot - 36) = 0$

Paso 2.10.4

Factoriza $5$ de $5 x^{4} + 5 (5 x^{2})$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 (x^{4} + 5 x^{2}) + 5 \cdot - 36) = 0$

Paso 2.10.5

Factoriza $5$ de $5 (x^{4} + 5 x^{2}) + 5 \cdot - 36$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 (x^{4} + 5 x^{2} - 36)) = 0$

Paso 2.11

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 ({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36)) = 0$

Paso 2.12

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 (u^{2} + 5 u - 36)) = 0$

Paso 2.13

Factoriza $u^{2} + 5 u - 36$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 36$ y cuya suma es $5$ .

$- 4, 9$

Paso 2.13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 ((u - 4) (u + 9))) = 0$

Paso 2.14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 ((x^{2} - 4) (x^{2} + 9))) = 0$

Paso 2.15

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9))) = 0$

Paso 2.16

Factoriza.

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Paso 2.16.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9))) = 0$

Paso 2.16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) = 0$

Paso 2.17

Factoriza $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + 5 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.1.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x) + 5 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) = 0$

Paso 2.17.1.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ de $5 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (5)) = 0$

Paso 2.17.1.3

Factoriza $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ de $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (5)$ .

$(2 x - 1) ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x + 5)) = 0$

Paso 2.17.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x + 5) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 5 = 0$

Paso 4

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x^{2} + 9$ igual a $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $x^{2} + 9 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 9$

Paso 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Paso 7.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Paso 7.2.3.1

Reescribe $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Paso 7.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (9)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Paso 7.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Paso 7.2.3.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Paso 7.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 3$

Paso 7.2.3.6

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Paso 7.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 i$

Paso 7.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 i$

Paso 7.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 i, - 3 i$

Paso 8

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 8.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) (x + 5) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - 2, 2, 3 i, - 3 i, - 5$