Álgebra Ejemplos

$\log_{0.4} (x) > 2$

Paso 1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\log_{0.4} (x) = 2$

Paso 2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.1

Reescribe $\log_{0.4} (x) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

${0.4}^{2} = x$

Paso 2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $x = {0.4}^{2}$ .

$x = {0.4}^{2}$

Paso 2.2.2

Eleva $0.4$ a la potencia de $2$ .

$x = 0.16$

Paso 3

Obtén el dominio de $\log_{0.4} (x) - 2$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\log_{0.4} (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, \infty)$

Paso 4

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 0.16$

$x > 0.16$

Paso 5

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 5.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 5.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$\log_{0.4} (- 2) > 2$

Paso 5.1.3

Determina si la desigualdad es verdadera.

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Paso 5.1.3.1

La ecuación no puede resolverse porque es indefinida.

$Indefinida$

Paso 5.1.3.2

El lado izquierdo no tiene solución, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 0.16$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 0.16$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.08$

Paso 5.2.2

Reemplaza $x$ con $0.08$ en la desigualdad original.

$\log_{0.4} (0.08) > 2$

Paso 5.2.3

$2.75647079$ del lado izquierdo es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 5.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0.16$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 5.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0.16$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 3$

Paso 5.3.2

Reemplaza $x$ con $3$ en la desigualdad original.

$\log_{0.4} (3) > 2$

Paso 5.3.3

$- 1.19897784$ del lado izquierdo no es mayor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 5.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 0.16$ Verdadero

$x > 0.16$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 0.16$ Verdadero

$x > 0.16$ Falso

Paso 6

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 < x < 0.16$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$0 < x < 0.16$

Notación de intervalo:

$(0, 0.16)$

Paso 8