Álgebra Ejemplos

$\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2} = 3$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $2$ .

$\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{x} + 2^{- x}}{2} \cdot 2 = 3 \cdot 2$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2^{x} + 2^{- x} = 3 \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$2^{x} + 2^{- x} = 6$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe $2^{- x}$ como exponenciación.

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = 6$

Paso 3.2

Sustituye $u$ por $2^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 6$

Paso 3.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 6$

Paso 3.4

Resuelve $u$

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Paso 3.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 3.4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 3.4.2

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 6$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{1}{u} = 6$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 6 u$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Paso 3.4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 3.4.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Paso 3.4.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 1 = 6 u$

Paso 3.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Resta $6 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 1 - 6 u = 0$

Paso 3.4.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.3.4.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.4.3.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.3

Resta $4$ de $36$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.4

Reescribe $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.4.3.4.1.4.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$u = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.4.3.4.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

Paso 3.4.3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$u = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

Paso 3.5

Sustituye $3 + 2 \sqrt{2}$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$3 + 2 \sqrt{2} = 2^{x}$

Paso 3.6

Resuelve $3 + 2 \sqrt{2} = 2^{x}$ .

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 3 + 2 \sqrt{2}$ .

$2^{x} = 3 + 2 \sqrt{2}$

Paso 3.6.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Paso 3.6.3

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Paso 3.6.4

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 3.6.4.1

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 3.6.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 3.6.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 3.6.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 3.7

Sustituye $3 - 2 \sqrt{2}$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$3 - 2 \sqrt{2} = 2^{x}$

Paso 3.8

Resuelve $3 - 2 \sqrt{2} = 2^{x}$ .

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 3 - 2 \sqrt{2}$ .

$2^{x} = 3 - 2 \sqrt{2}$

Paso 3.8.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$

Paso 3.8.3

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$

Paso 3.8.4

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ y simplifica.

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Paso 3.8.4.1

Divide cada término en $x \ln (2) = \ln (3 - 2 \sqrt{2})$ por $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 3.8.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.4.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 3.8.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 3.8.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 3.9

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}, \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\ln (3 + 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}, \frac{\ln (3 - 2 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 2.54310660 \dots, - 2.54310660 \dots$