Álgebra Ejemplos

$2 x^{2} + 5 x - 50 \leq 3 x + 10$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 1.1

Resta $3 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$2 x^{2} + 5 x - 50 - 3 x \leq 10$

Paso 1.2

Resta $3 x$ de $5 x$ .

$2 x^{2} + 2 x - 50 \leq 10$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$2 x^{2} + 2 x - 50 = 10$

Paso 3

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} + 2 x - 50 - 10 = 0$

Paso 4

Resta $10$ de $- 50$ .

$2 x^{2} + 2 x - 60 = 0$

Paso 5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 x - 60$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 2 x - 60 = 0$

Paso 5.1.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (x) - 60 = 0$

Paso 5.1.3

Factoriza $2$ de $- 60$ .

$2 (x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 30 = 0$

Paso 5.1.4

Factoriza $2$ de $2 (x^{2}) + 2 x$ .

$2 (x^{2} + x) + 2 \cdot - 30 = 0$

Paso 5.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + x) + 2 \cdot - 30$ .

$2 (x^{2} + x - 30) = 0$

Paso 5.2

Factoriza.

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Paso 5.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 30$ con el método AC.

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Paso 5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 30$ y cuya suma es $1$ .

$- 5, 6$

Paso 5.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 ((x - 5) (x + 6)) = 0$

Paso 5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (x - 5) (x + 6) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 7

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 7.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 8

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 8.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (x - 5) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 5, - 6$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < 5$

$x > 5$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

$2 {(- 8)}^{2} + 5 (- 8) - 50 \leq 3 (- 8) + 10$

Paso 11.1.3

$38$ del lado izquierdo es mayor que $- 14$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 50 \leq 3 (0) + 10$

Paso 11.2.3

$- 50$ del lado izquierdo es menor que $10$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$2 {(8)}^{2} + 5 (8) - 50 \leq 3 (8) + 10$

Paso 11.3.3

$118$ del lado izquierdo es mayor que $34$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 6 \leq x \leq 5$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- 6 \leq x \leq 5$

Notación de intervalo:

$[- 6, 5]$

Paso 14