Álgebra Ejemplos

$9^{x + \frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Reescribe $9^{x + \frac{1}{2}}$ como $9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}}$ .

$9^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Paso 1.2

Reescribe $9^{x}$ como ${(3^{2})}^{x}$ .

${(3^{2})}^{x} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Paso 1.3

Reescribe ${(3^{2})}^{x}$ como ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Paso 1.4

Sea $u = 3^{x}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $3^{x}$ .

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Paso 1.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u^{2} \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Paso 1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.3.1

Cancela el factor común.

$u^{2} \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 4 \cdot u + 1 = 0$

Paso 1.4.3.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Paso 1.4.4

Evalúa el exponente.

$u^{2} \cdot 3 - 4 \cdot u + 1 = 0$

Paso 1.4.5

Mueve $3$ a la izquierda de $u^{2}$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Paso 1.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 u$ .

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0$

Paso 1.5.1.2

Reescribe $- 4$ como $- 1$ más $- 3$

$3 u^{2} + (- 1 - 3) u + 1 = 0$

Paso 1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} - 1 u - 3 u + 1 = 0$

Paso 1.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} - 1 u) - 3 u + 1 = 0$

Paso 1.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (3 u - 1) - (3 u - 1) = 0$

Paso 1.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 u - 1$ .

$(3 u - 1) (u - 1) = 0$

Paso 1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3^{x}$ .

$(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Paso 3

Establece $3 \cdot 3^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $3 \cdot 3^{x} - 1$ igual a $0$ .

$3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $3 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Multiplica $3$ por $3^{x}$ .

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Paso 3.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Paso 3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{1 + x} - 1 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{1 + x} = 1$

Paso 3.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{1 + x}) = \ln (1)$

Paso 3.2.4

Expande $\ln (3^{1 + x})$ ; para ello, mueve $1 + x$ fuera del logaritmo.

$(1 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Paso 3.2.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.5.1

Simplifica $(1 + x) \ln (3)$ .

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Paso 3.2.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Paso 3.2.5.1.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Paso 3.2.6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.6.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\ln (3) + x \ln (3) = 0$

Paso 3.2.7

Reordena $\ln (3)$ y $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = 0$

Paso 3.2.8

Resta $\ln (3)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (3) = - \ln (3)$

Paso 3.2.9

Divide cada término en $x \ln (3) = - \ln (3)$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 3.2.9.1

Divide cada término en $x \ln (3) = - \ln (3)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 3.2.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 3.2.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 3.2.9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 3.2.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.9.3.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 3.2.9.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- \ln (3)}{\ln (3)}$

Paso 3.2.9.3.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$x = - 1$

Paso 4

Establece $3^{x} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $3^{x} - 1$ igual a $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $3^{x} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{x} = 1$

Paso 4.2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Paso 4.2.3

Expande $\ln (3^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Paso 4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Paso 4.2.5

Divide cada término en $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 4.2.5.1

Divide cada término en $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 4.2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 4.2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 4.2.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Paso 4.2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.5.3.1

Divide $0$ por $\ln (3)$ .

$x = 0$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 0$