Álgebra Ejemplos

$\sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt[3]{64 a^{3}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$ .

$\sqrt[3]{64 a^{3}} = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{64 a^{3}}}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{64 a^{3}}$ como ${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(64 a^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(64 a^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(64 a^{3})}^{1} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$64 a^{3} = {\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}^{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 12^{2}}}^{3}$

Paso 3.3.1.2

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{25 + 144}}^{3}$

Paso 3.3.1.3

Suma $25$ y $144$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{169}}^{3}$

Paso 3.3.1.4

Reescribe $169$ como $13^{2}$ .

$64 a^{3} = {\sqrt{13^{2}}}^{3}$

Paso 3.3.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$64 a^{3} = 13^{3}$

Paso 3.3.1.6

Eleva $13$ a la potencia de $3$ .

$64 a^{3} = 2197$

Paso 4

Resuelve $a$

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Paso 4.1

Resta $2197$ de ambos lados de la ecuación.

$64 a^{3} - 2197 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Reescribe $64 a^{3}$ como ${(4 a)}^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 2197 = 0$

Paso 4.2.2

Reescribe $2197$ como $13^{3}$ .

${(4 a)}^{3} - 13^{3} = 0$

Paso 4.2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 4 a$ y $b = 13$ .

$(4 a - 13) ({(4 a)}^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Paso 4.2.4

Simplifica.

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Paso 4.2.4.1

Aplica la regla del producto a $4 a$ .

$(4 a - 13) (4^{2} a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Paso 4.2.4.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 4 a \cdot 13 + 13^{2}) = 0$

Paso 4.2.4.3

Multiplica $13$ por $4$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 13^{2}) = 0$

Paso 4.2.4.4

Eleva $13$ a la potencia de $2$ .

$(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 a - 13 = 0$

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Paso 4.4

Establece $4 a - 13$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 4.4.1

Establece $4 a - 13$ igual a $0$ .

$4 a - 13 = 0$

Paso 4.4.2

Resuelve $4 a - 13 = 0$ en $a$ .

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Paso 4.4.2.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$4 a = 13$

Paso 4.4.2.2

Divide cada término en $4 a = 13$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.2.1

Divide cada término en $4 a = 13$ por $4$ .

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Paso 4.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 a}{4} = \frac{13}{4}$

Paso 4.4.2.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{13}{4}$

Paso 4.5

Establece $16 a^{2} + 52 a + 169$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 4.5.1

Establece $16 a^{2} + 52 a + 169$ igual a $0$ .

$16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $16 a^{2} + 52 a + 169 = 0$ en $a$ .

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Paso 4.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.5.2.2

Sustituye los valores $a = 16$ , $b = 52$ y $c = 169$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{- 52 \pm \sqrt{52^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 169)}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3

Simplifica.

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Paso 4.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.2.3.1.1

Eleva $52$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 4 \cdot 16 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 169$ .

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Paso 4.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 64 \cdot 169}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 64$ por $169$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{2704 - 10816}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.3

Resta $10816$ de $2704$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 8112}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.4

Reescribe $- 8112$ como $- 1 (8112)$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8112}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (8112)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}$ .

$a = \frac{- 52 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{8112}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.7

Reescribe $8112$ como $52^{2} \cdot 3$ .

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Paso 4.5.2.3.1.7.1

Factoriza $2704$ de $8112$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{2704 (3)}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.7.2

Reescribe $2704$ como $52^{2}$ .

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot \sqrt{52^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 52 \pm i \cdot (52 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.1.9

Mueve $52$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Paso 4.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $16$ .

$a = \frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$

Paso 4.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 52 \pm 52 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 13 \pm 13 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 4.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 a - 13) (16 a^{2} + 52 a + 169) = 0$ verdadera.

$a = \frac{13}{4}, - \frac{13 - 13 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{13 + 13 i \sqrt{3}}{8}$