Álgebra Ejemplos

$f (x) = e^{x} - 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{x} - 3$ como una ecuación.

$y = e^{x} - 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = e^{y} - 3$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $e^{y} - 3 = x$ .

$e^{y} - 3 = x$

Paso 3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{y} = x + 3$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (x + 3)$

Paso 3.4

Expande el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Expande $\ln (e^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (x + 3)$

Paso 3.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x + 3)$

Paso 3.4.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = \ln (x + 3)$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ es la inversa de $f (x) = e^{x} - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{x} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln ((e^{x} - 3) + 3)$

Paso 5.2.3

Combina los términos opuestos en $(e^{x} - 3) + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x} + 0)$

Paso 5.2.3.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = \ln (e^{x})$

Paso 5.2.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \ln (e)$

Paso 5.2.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x \cdot 1$

Paso 5.2.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{x} - 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (x + 3))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (x + 3)) = e^{\ln (x + 3)} - 3$

Paso 5.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (x + 3)) = x + 3 - 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$f (\ln (x + 3)) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\ln (x + 3)) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$ es la inversa de $f (x) = e^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 3)$