Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 1^{2}} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{x^{2} - x - 2}$

Paso 1.2

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 1) (x - 1) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x}{(x + 1) (x - 1)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{x + 3}{(x - 2) (x + 1)}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x - 2) (x + 1) (x - 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x (x - 2)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (x - 2) - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - (x + 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 1 \cdot 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x + (- x - 3) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.6

Expande $(- x - 3) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 x - x (x - 1) - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} - 2 x - x \cdot x - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.7.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.7.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - x \cdot - 1 - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.7.1.2

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 6.7.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + 1 x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.7.1.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.7.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} + x - 3 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.7.2

Resta $3 x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.8

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- 2 x + 0 - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.9

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$\frac{- 2 x - 2 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 6.10

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 7.2

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 7.4.1

Reescribe $- (4 x - 3)$ como $- 1 (4 x - 3)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 3)}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$

Paso 7.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 x - 3}{(x + 1) (x - 1) (x - 2)}$