Álgebra Ejemplos

$8 (2^{x}) = 7^{5 - 3 x}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (7^{5 - 3 x})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (8 \cdot 2^{x})$ como $\ln (8) + \ln (2^{x})$ .

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (7^{5 - 3 x})$

Paso 2.2

Expande $\ln (2^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (7^{5 - 3 x})$

Paso 3

Expande $\ln (7^{5 - 3 x})$ ; para ello, mueve $5 - 3 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (8) + x \ln (2) = (5 - 3 x) \ln (7)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (8) + x \ln (2) = 5 \ln (7) - 3 x \ln (7)$

Paso 5

Reordena $\ln (8)$ y $x \ln (2)$ .

$x \ln (2) + \ln (8) = 5 \ln (7) - 3 x \ln (7)$

Paso 6

Reordena $5 \ln (7)$ y $- 3 x \ln (7)$ .

$x \ln (2) + \ln (8) = - 3 x \ln (7) + 5 \ln (7)$

Paso 7

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$x \ln (2) + \ln (8) + 3 x \ln (7) - 5 \ln (7) = 0$

Paso 8

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.1

Resta $\ln (8)$ de ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) + 3 x \ln (7) - 5 \ln (7) = - \ln (8)$

Paso 8.2

Suma $5 \ln (7)$ a ambos lados de la ecuación.

$x \ln (2) + 3 x \ln (7) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Paso 9

Factoriza $x$ de $x \ln (2) + 3 x \ln (7)$ .

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Paso 9.1

Factoriza $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + 3 x \ln (7) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Paso 9.2

Factoriza $x$ de $3 x \ln (7)$ .

$x (\ln (2)) + x (3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Paso 9.3

Factoriza $x$ de $x (\ln (2)) + x (3 \ln (7))$ .

$x (\ln (2) + 3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$

Paso 10

Divide cada término en $x (\ln (2) + 3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$ por $\ln (2) + 3 \ln (7)$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $x (\ln (2) + 3 \ln (7)) = - \ln (8) + 5 \ln (7)$ por $\ln (2) + 3 \ln (7)$ .

$\frac{x (\ln (2) + 3 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)} = \frac{- \ln (8)}{\ln (2) + 3 \ln (7)} + \frac{5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $\ln (2) + 3 \ln (7)$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (\ln (2) + 3 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)} = \frac{- \ln (8)}{\ln (2) + 3 \ln (7)} + \frac{5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Paso 10.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (8)}{\ln (2) + 3 \ln (7)} + \frac{5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{- \ln (8) + 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Paso 10.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (8)$ .

$x = \frac{- \ln (8) + 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Paso 10.3.3

Factoriza $- 1$ de $5 \ln (7)$ .

$x = \frac{- \ln (8) - (- 5 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Paso 10.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (8) - (- 5 \ln (7))$ .

$x = \frac{- (\ln (8) - 5 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Paso 10.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.5.1

Reescribe $- (\ln (8) - 5 \ln (7))$ como $- 1 (\ln (8) - 5 \ln (7))$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (8) - 5 \ln (7))}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Paso 10.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (8) - 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{\ln (8) - 5 \ln (7)}{\ln (2) + 3 \ln (7)}$

Forma decimal:

$x = 1.17137537 \dots$