Álgebra Ejemplos

$f (x) = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ como una ecuación.

$y = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - 3 \sqrt{\frac{4 y - 7}{3}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- 3 \sqrt{\frac{4 y - 7}{3}} = x$ .

$- 3 \sqrt{\frac{4 y - 7}{3}} = x$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 3 \sqrt{\frac{4 y - 7}{3}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{4 y - 7}{3}}$ como ${(\frac{4 y - 7}{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 {(\frac{4 y - 7}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(- 3 {(\frac{4 y - 7}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4 y - 7}{3}$ .

${(- 3 \frac{{(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{{(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

${(\frac{- 3 {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(- \frac{(3) {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.4

Mueve $3^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

${(- ((3) {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{- \frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.5

Multiplica $3$ por $3^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.5.1

Mueve $3^{- \frac{1}{2}}$ .

${(- (3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3 {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.5.2

Multiplica $3^{- \frac{1}{2}}$ por $3$ .

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Paso 3.3.2.1.5.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

${(- (3^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(- (3^{- \frac{1}{2} + 1} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.5.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(- (3^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(- (3^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.5.5

Suma $- 1$ y $2$ .

${(- (3^{\frac{1}{2}} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}))}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.2.1.6.1

Aplica la regla del producto a $- 3^{\frac{1}{2}} {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.6.2

Aplica la regla del producto a $- 3^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.8

Multiplica ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.9

Multiplica los exponentes en ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.9.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.9.2.1

Cancela el factor común.

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.9.2.2

Reescribe la expresión.

$3^{1} {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.10

Evalúa el exponente.

$3 {({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.11

Multiplica los exponentes en ${({(4 y - 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.11.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.11.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.11.2.1

Cancela el factor común.

$3 {(4 y - 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.11.2.2

Reescribe la expresión.

$3 {(4 y - 7)}^{1} = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.12

Simplifica.

$3 (4 y - 7) = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.13

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (4 y) + 3 \cdot - 7 = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.14

Multiplica.

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Paso 3.3.2.1.14.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 y + 3 \cdot - 7 = x^{2}$

Paso 3.3.2.1.14.2

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$12 y - 21 = x^{2}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $21$ a ambos lados de la ecuación.

$12 y = x^{2} + 21$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $12 y = x^{2} + 21$ por $12$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $12 y = x^{2} + 21$ por $12$ .

$\frac{12 y}{12} = \frac{x^{2}}{12} + \frac{21}{12}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 y}{12} = \frac{x^{2}}{12} + \frac{21}{12}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{21}{12}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Cancela el factor común de $21$ y $12$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{3 (7)}{12}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 4}$

Paso 3.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 4}$

Paso 3.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$ es la inversa de $f (x) = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{{(- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{{(- 3)}^{2} {\sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {\sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.3

Reescribe $\sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{4 x - 7}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 5.2.3.1.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.5.6.5

Evalúa el exponente.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{4 x - 7} \sqrt{3}}{3})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 {(\frac{\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}}{3})}^{2}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.7

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}}{3}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}}^{2}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.8.1

Reescribe ${\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}}^{2}$ como $(4 x - 7) \cdot 3$ .

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Paso 5.2.3.1.8.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(4 x - 7) \cdot 3}$ como ${((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{({((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.8.1.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{{((4 x - 7) \cdot 3)}^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{(4 x - 7) \cdot 3}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.1.5

Simplifica.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{(4 x - 7) \cdot 3}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{4 x \cdot 3 - 7 \cdot 3}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{12 x - 7 \cdot 3}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.4

Multiplica $- 7$ por $3$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{12 x - 21}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.5

Factoriza $3$ de $12 x - 21$ .

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Paso 5.2.3.1.8.5.1

Factoriza $3$ de $12 x$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x) - 21}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.5.2

Factoriza $3$ de $- 21$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x) + 3 (- 7)}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.8.5.3

Factoriza $3$ de $3 (4 x) + 3 (- 7)$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x - 7)}{3^{2}})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x - 7)}{9})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.10.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x - 7)}{3 \cdot 3})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.10.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{3 (4 x - 7)}{3 \cdot 3})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.1.10.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{9 (\frac{4 x - 7}{3})}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.2

Combina $9$ y $\frac{4 x - 7}{3}$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{9 (4 x - 7)}{3}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1

Reduce la expresión $\frac{9 (4 x - 7)}{3}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Factoriza $3$ de $9 (4 x - 7)$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{3 (3 (4 x - 7))}{3}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.3.1.2

Factoriza $3$ de $3$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{3 (3 (4 x - 7))}{3 (1)}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.3.1.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{3 (3 (4 x - 7))}{3 \cdot 1}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.3.1.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{\frac{3 (4 x - 7)}{1}}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.3.2

Divide $3 (4 x - 7)$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{3 (4 x - 7)}{12} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.4.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{3 (4 x - 7)}{3 \cdot 4} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.4.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{3 (4 x - 7)}{3 \cdot 4} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x - 7}{4} + \frac{7}{4}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x - 7 + 7}{4}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $4 x - 7 + 7$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Suma $- 7$ y $7$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{4 (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{4 (\frac{x^{2}}{12}) + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{4 (\frac{x^{2}}{4 (3)}) + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Paso 5.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{4 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 3}) + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Paso 5.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3} + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3} + 4 (\frac{7}{4}) - 7}{3}}$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3} + 7 - 7}{3}}$

Paso 5.3.6

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 5.3.6.1

Resta $7$ de $7$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3} + 0}{3}}$

Paso 5.3.6.2

Suma $\frac{x^{2}}{3}$ y $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{\frac{x^{2}}{3}}{3}}$

Paso 5.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{1}{3}}$

Paso 5.3.8

Combinar.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2} \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.3.9

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 5.3.9.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3 \cdot 3}}$

Paso 5.3.9.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Paso 5.3.9.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Paso 5.3.10

Reescribe $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ como ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Paso 5.3.11

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 3 \frac{x}{3}$

Paso 5.3.12

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.12.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = 3 (- 1) (\frac{x}{3})$

Paso 5.3.12.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = 3 \cdot (- 1 \frac{x}{3})$

Paso 5.3.12.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - 1 x$

Paso 5.3.13

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (\frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}) = - x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$ es la inversa de $f (x) = - 3 \sqrt{\frac{4 x - 7}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{12} + \frac{7}{4}$