Álgebra Ejemplos

$(y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1

Simplifica $(y - 1) (y - 2) (y - 3)$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$0 + 0 + (y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$(y - 1) (y - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.3

Expande $(y - 1) (y - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(y (y - 2) - 1 (y - 2)) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 (y - 2)) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(y \cdot y + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$(y^{2} + y \cdot - 2 - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.4.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $y$ .

$(y^{2} - 2 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.4.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$(y^{2} - 2 y - y - 1 \cdot - 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$(y^{2} - 2 y - y + 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.4.2

Resta $y$ de $- 2 y$ .

$(y^{2} - 3 y + 2) (y - 3) = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.5

Expande $(y^{2} - 3 y + 2) (y - 3)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$y^{2} y + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.1.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 1.6.1.1.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} y^{1} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2 + 1} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6.1.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$y^{3} + y^{2} \cdot - 3 - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$y^{3} - 3 \cdot y^{2} - 3 y \cdot y - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.3.1

Mueve $y$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 (y \cdot y) - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6.1.3.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y \cdot - 3 + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} + 9 y + 2 y + 2 \cdot - 3 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6.1.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y^{3} - 3 y^{2} - 3 y^{2} + 9 y + 2 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.6.2.1

Resta $3 y^{2}$ de $- 3 y^{2}$ .

$y^{3} - 6 y^{2} + 9 y + 2 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 1.6.2.2

Suma $9 y$ y $2 y$ .

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 = y^{3} - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} = - 3 y^{2} + 2 y$

Paso 2.2

Suma $3 y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} = 2 y$

Paso 2.3

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Paso 2.4

Combina los términos opuestos en $y^{3} - 6 y^{2} + 11 y - 6 - y^{3} + 3 y^{2} - 2 y$ .

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Paso 2.4.1

Resta $y^{3}$ de $y^{3}$ .

$- 6 y^{2} + 11 y - 6 + 0 + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Paso 2.4.2

Suma $- 6 y^{2} + 11 y - 6$ y $0$ .

$- 6 y^{2} + 11 y - 6 + 3 y^{2} - 2 y = 0$

Paso 2.5

Suma $- 6 y^{2}$ y $3 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + 11 y - 6 - 2 y = 0$

Paso 2.6

Resta $2 y$ de $11 y$ .

$- 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 y^{2} + 9 y - 6$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + 9 y - 6 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $- 3$ de $9 y$ .

$- 3 y^{2} - 3 (- 3 y) - 6 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $- 3$ de $- 6$ .

$- 3 y^{2} - 3 (- 3 y) - 3 \cdot 2 = 0$

Paso 3.1.4

Factoriza $- 3$ de $- 3 (y^{2}) - 3 (- 3 y)$ .

$- 3 (y^{2} - 3 y) - 3 \cdot 2 = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza $- 3$ de $- 3 (y^{2} - 3 y) - 3 (2)$ .

$- 3 (y^{2} - 3 y + 2) = 0$

Paso 3.2

Factoriza.

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Paso 3.2.1

Factoriza $y^{2} - 3 y + 2$ con el método AC.

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Paso 3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 3.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 3 ((y - 2) (y - 1)) = 0$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 3 (y - 2) (y - 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y - 1 = 0$

Paso 5

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 5.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Paso 5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 6

Establece $y - 1$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 6.1

Establece $y - 1$ igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

Paso 6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 3 (y - 2) (y - 1) = 0$ verdadera.

$y = 2, 1$