Álgebra Ejemplos

$\frac{\tan^{2} (a) - \sin^{2} (a)}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \tan (a)$ y $b = \sin (a)$ .

$\frac{(\tan (a) + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\tan (a)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.2

Factoriza $\sin (a)$ de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \sin (a)$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $\sin (a)$ de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a)) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.2.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{(\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $\sin (a)$ de $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\tan (a) - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.3

Reescribe $\tan (a)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.4

Factoriza $\sin (a)$ de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \sin (a)$ .

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $\sin (a)$ de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} - \sin (a))}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.4.2

Factoriza $\sin (a)$ de $- \sin (a)$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.4.3

Factoriza $\sin (a)$ de $\sin (a) \frac{1}{\cos (a)} + \sin (a) \cdot - 1$ .

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1))}{\tan^{2} (a)}$

$\frac{\sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.5

Combina exponentes.

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Paso 1.2.5.1

Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.5.2

Eleva $\sin (a)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Paso 1.2.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\tan^{2} (a)}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $\tan (a)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{{(\frac{\sin (a)}{\cos (a)})}^{2}}$

Paso 2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ .

$\frac{\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)}{\frac{\sin^{2} (a)}{\cos^{2} (a)}}$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Paso 4

Cancela el factor común de $\sin^{2} (a)$ .

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Paso 4.1

Factoriza $\sin^{2} (a)$ de $\sin^{2} (a) (\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ .

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\sin^{2} (a) ((\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \frac{\cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 5

Expande $(\frac{1}{\cos (a)} + 1) (\frac{1}{\cos (a)} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{1}{\cos (a)} (\frac{1}{\cos (a)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (a)} - 1)) \cos^{2} (a)$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (a)} \cdot \frac{1}{\cos (a)}$ .

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Paso 6.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{\cos (a)}$ por $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.1.1.2

Eleva $\cos (a)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.1.1.3

Eleva $\cos (a)$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (a) \cos^{1} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{1}{{\cos (a)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{1}{\cos (a)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.1.2

Combina $\frac{1}{\cos (a)}$ y $- 1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + \frac{- 1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + 1 \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.1.4

Multiplica $\frac{1}{\cos (a)}$ por $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} + 1 \cdot - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - \frac{1}{\cos (a)} + \frac{1}{\cos (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.2

Suma $- \frac{1}{\cos (a)}$ y $\frac{1}{\cos (a)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} + 0 - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 6.3

Suma $\frac{1}{\cos^{2} (a)}$ y $0$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (a)} - 1) \cos^{2} (a)$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $\cos^{2} (a)$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos^{2} (a)} \cos^{2} (a) - 1 \cos^{2} (a)$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$1 - 1 \cos^{2} (a)$

Paso 7.3

Reescribe $- 1 \cos^{2} (a)$ como $- \cos^{2} (a)$ .

$1 - \cos^{2} (a)$

Paso 8

Aplica la identidad pitagórica.

$\sin^{2} (a)$