Álgebra Ejemplos

${(1 + \sqrt{3} i)}^{2} = a + i b$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ .

$a + i b = {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Paso 2

Simplifica ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Reescribe.

$a + i b = 0 + 0 + {(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$

Paso 2.2

Reescribe ${(1 + \sqrt{3} i)}^{2}$ como $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ .

$a + i b = (1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$

Paso 2.3

Expande $(1 + \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a + i b = 1 (1 + \sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i (1 + \sqrt{3} i)$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$a + i b = 1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Paso 2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$a + i b = 1 + 1 (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $\sqrt{3} i$ por $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i \cdot 1 + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Paso 2.4.1.3

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$

Paso 2.4.1.4

Multiplica $\sqrt{3} i (\sqrt{3} i)$ .

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Paso 2.4.1.4.1

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i$

Paso 2.4.1.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i$

Paso 2.4.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1} i i$

Paso 2.4.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i i$

Paso 2.4.1.4.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)$

Paso 2.4.1.4.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})$

Paso 2.4.1.4.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}$

Paso 2.4.1.4.8

Suma $1$ y $1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2} i^{2}$

Paso 2.4.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.4.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}$

Paso 2.4.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}$

Paso 2.4.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Paso 2.4.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}} i^{2}$

Paso 2.4.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3^{1} i^{2}$

Paso 2.4.1.5.5

Evalúa el exponente.

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 i^{2}$

Paso 2.4.1.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i + 3 \cdot - 1$

Paso 2.4.1.7

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$a + i b = 1 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i - 3$

Paso 2.4.2

Resta $3$ de $1$ .

$a + i b = - 2 + \sqrt{3} i + \sqrt{3} i$

Paso 2.4.3

Suma $\sqrt{3} i$ y $\sqrt{3} i$ .

$a + i b = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

Paso 3

Resta $i b$ de ambos lados de la ecuación.

$a = - 2 + 2 \sqrt{3} i - i b$