Álgebra Ejemplos

$2 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$2 (\frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.1.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$(1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$(1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$(1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$(1 - i \sqrt{3}) \cdot 4 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(1 \cdot 4 - i \sqrt{3} \cdot 4) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.2.5

Multiplica.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$(4 - i \sqrt{3} \cdot 4) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Paso 1.3.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2})$

Paso 1.3.3

Combina $i$ y $\frac{1}{2}$ .

$(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Paso 2

Expande $(4 - 4 i \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}) - 4 i \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{3} + 4 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (2) \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 \frac{i}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 4 i \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 4 i \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.3.2

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{3} + 2 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \sqrt{3} \sqrt{3} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.5

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {\sqrt{3}}^{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.8

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.8.4.1

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.8.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3^{1} - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.8.5

Evalúa el exponente.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 2 i \cdot 3 - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.9

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 4 i \sqrt{3} \frac{i}{2}$

Paso 3.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.10.1

Factoriza $2$ de $- 4 i \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{i}{2}$

Paso 3.1.10.2

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 (- 2 i \sqrt{3}) \frac{i}{2}$

Paso 3.1.10.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i \sqrt{3} i$

Paso 3.1.11

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 (i^{1} i) \sqrt{3}$

Paso 3.1.12

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3}$

Paso 3.1.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i^{1 + 1} \sqrt{3}$

Paso 3.1.14

Suma $1$ y $1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 i^{2} \sqrt{3}$

Paso 3.1.15

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i - 2 \cdot - 1 \sqrt{3}$

Paso 3.1.16

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \sqrt{3} + 2 i - 6 i + 2 \sqrt{3}$

Paso 3.2

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$2 i - 6 i + 4 \sqrt{3}$

Paso 3.3

Resta $6 i$ de $2 i$ .

$- 4 i + 4 \sqrt{3}$

Paso 4

Reordena $- 4 i$ y $4 \sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3} - 4 i$