Álgebra Ejemplos

$\frac{4 + \sqrt{27}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{4 + \sqrt{9 (3)}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Paso 1.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{4 + \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{27}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{9 (3)}}$

Paso 2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Paso 2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 3 (3 \sqrt{3})}$

Paso 2.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$

Paso 3

Multiplica $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$ .

$\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{2 - 9 \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + 9 \sqrt{3}}{2 + 9 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{(2 - 9 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}$

Paso 4.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{4 + 18 \sqrt{3} - 18 \sqrt{3} - 81 {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

$\frac{(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Paso 5

Expande $(4 + 3 \sqrt{3}) (2 + 9 \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 + 9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} (2 + 9 \sqrt{3})}{- 239}$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 \cdot 2 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 + 4 (9 \sqrt{3}) + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Paso 6.1.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} \cdot 2 + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Paso 6.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})}{- 239}$

Paso 6.1.4

Multiplica $3 \sqrt{3} (9 \sqrt{3})$ .

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 239}$

Paso 6.1.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 239}$

Paso 6.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 239}$

Paso 6.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 239}$

Paso 6.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {\sqrt{3}}^{2}}{- 239}$

Paso 6.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 239}$

Paso 6.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 239}$

Paso 6.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 239}$

Paso 6.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{- 239}$

Paso 6.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3^{1}}{- 239}$

Paso 6.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 27 \cdot 3}{- 239}$

Paso 6.1.6

Multiplica $27$ por $3$ .

$\frac{8 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 81}{- 239}$

Paso 6.2

Suma $8$ y $81$ .

$\frac{89 + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{- 239}$

Paso 6.3

Suma $36 \sqrt{3}$ y $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{89 + 42 \sqrt{3}}{- 239}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{89 + 42 \sqrt{3}}{239}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{89 + 42 \sqrt{3}}{239}$

Forma decimal:

$- 0.67676206 \dots$