Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2 x} + 2 = \sqrt{5 x - 4}$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{2 x} = \sqrt{5 x - 4} - 2$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{2 x}}^{2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 x)}^{1} = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$2 x = {(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe ${(\sqrt{5 x - 4} - 2)}^{2}$ como $(\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$ .

$2 x = (\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Paso 3.3.1.2

Expande $(\sqrt{5 x - 4} - 2) (\sqrt{5 x - 4} - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} (\sqrt{5 x - 4} - 2) - 2 (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Paso 3.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{5 x - 4} - 2)$

Paso 3.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x = \sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.3.1.1

Multiplica $\sqrt{5 x - 4} \sqrt{5 x - 4}$ .

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Paso 3.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{5 x - 4}$ a la potencia de $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1} \sqrt{5 x - 4} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{5 x - 4}$ a la potencia de $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1} {\sqrt{5 x - 4}}^{1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{1 + 1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x = {\sqrt{5 x - 4}}^{2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{5 x - 4}}^{2}$ como $5 x - 4$ .

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Paso 3.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x - 4}$ como ${(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x = {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$2 x = {(5 x - 4)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$2 x = {(5 x - 4)}^{1} + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.2.5

Simplifica.

$2 x = 5 x - 4 + \sqrt{5 x - 4} \cdot - 2 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\sqrt{5 x - 4}$ .

$2 x = 5 x - 4 - 2 \cdot \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$2 x = 5 x - 4 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4} + 4$

Paso 3.3.1.3.2

Suma $- 4$ y $4$ .

$2 x = 5 x + 0 - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4}$

Paso 3.3.1.3.3

Suma $5 x$ y $0$ .

$2 x = 5 x - 2 \sqrt{5 x - 4} - 2 \sqrt{5 x - 4}$

Paso 3.3.1.3.4

Resta $2 \sqrt{5 x - 4}$ de $- 2 \sqrt{5 x - 4}$ .

$2 x = 5 x - 4 \sqrt{5 x - 4}$

Paso 4

Resuelve $- 4 \sqrt{5 x - 4}$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $5 x - 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x$ .

$5 x - 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que no contengan $- 4 \sqrt{5 x - 4}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sqrt{5 x - 4} = 2 x - 5 x$

Paso 4.2.2

Resta $5 x$ de $2 x$ .

$- 4 \sqrt{5 x - 4} = - 3 x$

Paso 5

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(- 4 \sqrt{5 x - 4})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x - 4}$ como ${(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Simplifica ${(- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 4 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$16 {({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(5 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$16 {(5 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$16 {(5 x - 4)}^{1} = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica.

$16 (5 x - 4) = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$16 (5 x) + 16 \cdot - 4 = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica.

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Paso 6.2.1.6.1

Multiplica $5$ por $16$ .

$80 x + 16 \cdot - 4 = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.2.1.6.2

Multiplica $16$ por $- 4$ .

$80 x - 64 = {(- 3 x)}^{2}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica ${(- 3 x)}^{2}$ .

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Paso 6.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- 3 x$ .

$80 x - 64 = {(- 3)}^{2} x^{2}$

Paso 6.3.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$80 x - 64 = 9 x^{2}$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Resta $9 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$80 x - 64 - 9 x^{2} = 0$

Paso 7.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.2.1

Factoriza $- 1$ de $80 x - 64 - 9 x^{2}$ .

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Paso 7.2.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 7.2.1.1.1

Mueve $- 64$ .

$80 x - 9 x^{2} - 64 = 0$

Paso 7.2.1.1.2

Reordena $80 x$ y $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 80 x - 64 = 0$

Paso 7.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 9 x^{2}$ .

$- (9 x^{2}) + 80 x - 64 = 0$

Paso 7.2.1.3

Factoriza $- 1$ de $80 x$ .

$- (9 x^{2}) - (- 80 x) - 64 = 0$

Paso 7.2.1.4

Reescribe $- 64$ como $- 1 (64)$ .

$- (9 x^{2}) - (- 80 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Paso 7.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{2}) - (- 80 x)$ .

$- (9 x^{2} - 80 x) - 1 \cdot 64 = 0$

Paso 7.2.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (9 x^{2} - 80 x) - 1 (64)$ .

$- (9 x^{2} - 80 x + 64) = 0$

Paso 7.2.2

Factoriza.

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Paso 7.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 7.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 64 = 576$ y cuya suma es $b = - 80$ .

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Paso 7.2.2.1.1.1

Factoriza $- 80$ de $- 80 x$ .

$- (9 x^{2} - 80 x + 64) = 0$

Paso 7.2.2.1.1.2

Reescribe $- 80$ como $- 8$ más $- 72$

$- (9 x^{2} + (- 8 - 72) x + 64) = 0$

Paso 7.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (9 x^{2} - 8 x - 72 x + 64) = 0$

Paso 7.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((9 x^{2} - 8 x) - 72 x + 64) = 0$

Paso 7.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x (9 x - 8) - 8 (9 x - 8)) = 0$

Paso 7.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 x - 8$ .

$- ((9 x - 8) (x - 8)) = 0$

Paso 7.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (9 x - 8) (x - 8) = 0$

Paso 7.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 x - 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Paso 7.4

Establece $9 x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $9 x - 8$ igual a $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Paso 7.4.2

Resuelve $9 x - 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.4.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 8$

Paso 7.4.2.2

Divide cada término en $9 x = 8$ por $9$ y simplifica.

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Paso 7.4.2.2.1

Divide cada término en $9 x = 8$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Paso 7.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 7.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Paso 7.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Paso 7.5

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 7.5.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (9 x - 8) (x - 8) = 0$ verdadera.

$x = \frac{8}{9}, 8$

Paso 8

Excluye las soluciones que no hagan que $\sqrt{2 x} + 2 = \sqrt{5 x - 4}$ sea verdadera.

$x = 8$