Álgebra Ejemplos

$\frac{r}{r^{2} - 4} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{r}{r^{2} - 2^{2}} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = r$ y $b = 2$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{r^{2} - 6 r + 8}$

Paso 1.2

Factoriza $r^{2} - 6 r + 8$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{r - 4}{r - 4}$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$\frac{r}{(r + 2) (r - 2)} \cdot \frac{r - 4}{r - 4} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(r + 2) (r - 2) (r - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{r}{(r + 2) (r - 2)}$ por $\frac{r - 4}{r - 4}$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{1}{(r - 4) (r - 2)} \cdot \frac{r + 2}{r + 2}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{(r - 4) (r - 2)}$ por $\frac{r + 2}{r + 2}$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r - 4) (r - 2) (r + 2)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(r - 4) (r - 2) (r + 2)$ .

$\frac{r (r - 4)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)} + \frac{r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{r (r - 4) + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{r \cdot r + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Paso 6.2

Multiplica $r$ por $r$ .

$\frac{r^{2} + r \cdot - 4 + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Paso 6.3

Mueve $- 4$ a la izquierda de $r$ .

$\frac{r^{2} - 4 \cdot r + r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Paso 6.4

Suma $- 4 r$ y $r$ .

$\frac{r^{2} - 3 r + 2}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Paso 6.5

Factoriza $r^{2} - 3 r + 2$ con el método AC.

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Paso 6.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 6.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $r - 2$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común.

$\frac{(r - 2) (r - 1)}{(r + 2) (r - 2) (r - 4)}$

Paso 7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{r - 1}{(r + 2) (r - 4)}$