Álgebra Ejemplos

$x = 2 + \sqrt{x^{2} - 1}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$2 + \sqrt{x^{2} - 1} = x$

Paso 2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{x^{2} - 1} = x - 2$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 1)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} - 1 = {(x - 2)}^{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 4.3.1.1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$x^{2} - 1 = (x - 2) (x - 2)$

Paso 4.3.1.2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Paso 4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Paso 4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 1 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 4.3.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Paso 4.3.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Paso 4.3.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 1 = x^{2} - 4 x + 4$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 4 x + 4 = x^{2} - 1$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x + 4 - x^{2} = - 1$

Paso 5.2.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 4 x + 4 - x^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 4 x + 4 + 0 = - 1$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 4 x + 4$ y $0$ .

$- 4 x + 4 = - 1$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 1 - 4$

Paso 5.3.2

Resta $4$ de $- 1$ .

$- 4 x = - 5$

Paso 5.4

Divide cada término en $- 4 x = - 5$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $- 4 x = - 5$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 5}{- 4}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 4}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{5}{4}$

Paso 6

Excluye las soluciones que no hagan que $x = 2 + \sqrt{x^{2} - 1}$ sea verdadera.

$No hay solución$