Álgebra Ejemplos

$\frac{27}{125} x^{6} - 8 y^{9}$

Paso 1

Reescribe $\frac{27}{125} x^{6}$ como ${(\frac{3}{5} x^{2})}^{3}$ .

${(\frac{3}{5} x^{2})}^{3} - 8 y^{9}$

Paso 2

Reescribe $8 y^{9}$ como ${(2 y^{3})}^{3}$ .

${(\frac{3}{5} x^{2})}^{3} - {(2 y^{3})}^{3}$

Paso 3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = \frac{3}{5} x^{2}$ y $b = 2 y^{3}$ .

$(\frac{3}{5} x^{2} - (2 y^{3})) ({(\frac{3}{5} x^{2})}^{2} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $x^{2}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - (2 y^{3})) ({(\frac{3}{5} x^{2})}^{2} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) ({(\frac{3}{5} x^{2})}^{2} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.3

Combina $\frac{3}{5}$ y $x^{2}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) ({(\frac{3 x^{2}}{5})}^{2} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 x^{2}}{5}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{{(3 x^{2})}^{2}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.4.2

Aplica la regla del producto a $3 x^{2}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{3^{2} {(x^{2})}^{2}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 {(x^{2})}^{2}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 4.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{2 \cdot 2}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{5^{2}} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.6

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{3}{5} x^{2} (2 y^{3}) + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{3}{5} \cdot 2 x^{2} y^{3} + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.8

Multiplica $\frac{3}{5} \cdot 2$ .

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Paso 4.8.1

Combina $\frac{3}{5}$ y $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{3 \cdot 2}{5} x^{2} y^{3} + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.8.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6}{5} x^{2} y^{3} + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.9

Combina $\frac{6}{5}$ y $x^{2}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2}}{5} y^{3} + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.10

Combina $\frac{6 x^{2}}{5}$ y $y^{3}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + {(2 y^{3})}^{2})$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $2 y^{3}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + 2^{2} {(y^{3})}^{2})$

Paso 4.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + 4 {(y^{3})}^{2})$

Paso 4.13

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{2}$ .

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Paso 4.13.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + 4 y^{3 \cdot 2})$

Paso 4.13.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{9 x^{4}}{25} + \frac{6 x^{2} y^{3}}{5} + 4 y^{6})$

Paso 4.14

Factoriza.

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Paso 4.14.1

Factoriza $\frac{1}{25}$ de cada término.

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) (\frac{1}{25} (9 x^{4} + 30 x^{2} y^{3} + 100 y^{6}))$

Paso 4.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(\frac{3 x^{2}}{5} - 2 y^{3}) \frac{1}{25} (9 x^{4} + 30 x^{2} y^{3} + 100 y^{6})$