Álgebra Ejemplos

$x + y + x^{2} y + x y^{2} - x^{3} - y^{3}$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} - y^{3} + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Paso 2

Factoriza $- 1$ de $- x^{3} - y^{3}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) - y^{3} + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Paso 2.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{3}$ .

$- (x^{3}) - (y^{3}) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Paso 2.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (y^{3})$ .

$- (x^{3} + y^{3}) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Paso 3

Factoriza.

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Paso 3.1

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$- ((x + y) (x^{2} - x y + y^{2})) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Paso 3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + x + y + x^{2} y + x y^{2}$

Paso 4

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y) + x^{2} y + x y^{2}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + 1 (x + y) + x y (x + y)$

Paso 5

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + y$ .

$- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y) (1 + x y)$

Paso 6

Factoriza $x + y$ de $- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + (x + y) (1 + x y)$ .

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Paso 6.1

Factoriza $x + y$ de $- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ .

$(x + y) (- 1 (x^{2} - x y + y^{2})) + (x + y) (1 + x y)$

Paso 6.2

Factoriza $x + y$ de $(x + y) (- 1 (x^{2} - x y + y^{2})) + (x + y) (1 + x y)$ .

$(x + y) (- 1 (x^{2} - x y + y^{2}) + 1 + x y)$

Paso 7

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + y) (- 1 x^{2} - 1 (- x y) - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$(x + y) (- x^{2} - 1 (- x y) - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Paso 8.2

Multiplica $- 1 (- x y)$ .

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(x + y) (- x^{2} + 1 (x y) - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Paso 8.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x + y) (- x^{2} + x y - 1 y^{2} + 1 + x y)$

Paso 8.3

Reescribe $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$(x + y) (- x^{2} + x y - y^{2} + 1 + x y)$

Paso 9

Suma $x y$ y $x y$ .

$(x + y) (- x^{2} + 2 x y - y^{2} + 1)$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Reescribe $- x^{2} + 2 x y - y^{2} + 1$ en forma factorizada.

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Paso 10.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x + y) (- x^{2} + 2 x y - y^{2} + 1^{2})$

Paso 10.1.2

Reescribe $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ como ${(x - y)}^{2}$ .

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Paso 10.1.2.1

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Paso 10.1.2.2

Reescribe el polinomio.

$(x + y) (- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}) + 1^{2})$

Paso 10.1.2.3

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = y$ .

$(x + y) (- {(x - y)}^{2} + 1^{2})$

Paso 10.1.3

Reordena $- {(x - y)}^{2}$ y $1^{2}$ .

$(x + y) (1^{2} - {(x - y)}^{2})$

Paso 10.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x - y$ .

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - (x - y)))$

Paso 10.1.5

Simplifica.

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Paso 10.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - x - - y))$

Paso 10.1.5.2

Multiplica $- - y$ .

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Paso 10.1.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - x + 1 y))$

Paso 10.1.5.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$(x + y) ((1 + x - y) (1 - x + y))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + y) (1 + x - y) (1 - x + y)$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Factoriza $- 1$ de $1 - x + y$ .

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Paso 11.1.1

Mueve $1$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- x + y + 1)$

Paso 11.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x) + y + 1)$

Paso 11.1.3

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x) - 1 (- y) + 1)$

Paso 11.1.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x) - 1 (- y) - 1 (- 1))$

Paso 11.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x - y) - 1 (- 1))$

Paso 11.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (x - y) - 1 (- 1)$ .

$(x + y) (1 + x - y) (- (x - y - 1))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + y) (1 + x - y) \cdot - 1 (x - y - 1)$

Paso 12

Factoriza el negativo.

$- ((x + y) (1 + x - y) (x - y - 1))$

Paso 13

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + y) (1 + x - y) (x - y - 1)$