Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ como una ecuación.

$y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $1 + e^{- y}$ .

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común de $1 + e^{- y}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - e^{- y}}{1 + e^{- y}} (1 + e^{- y}) = x (1 + e^{- y})$

Paso 3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$1 - e^{- y} = x (1 + e^{- y})$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $x (1 + e^{- y})$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 - e^{- y} = x \cdot 1 + x e^{- y}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$1 - e^{- y} = x + x e^{- y}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $x e^{- y}$ de ambos lados de la ecuación.

$1 - e^{- y} - x e^{- y} = x$

Paso 3.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- e^{- y} - x e^{- y} = x - 1$

Paso 3.4.3

Factoriza $e^{- y}$ de $- e^{- y} - x e^{- y}$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $e^{- y}$ de $- e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 - x e^{- y} = x - 1$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $e^{- y}$ de $- x e^{- y}$ .

$e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x) = x - 1$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $e^{- y}$ de $e^{- y} \cdot - 1 + e^{- y} (- x)$ .

$e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ por $- 1 - x$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $e^{- y} (- 1 - x) = x - 1$ por $- 1 - x$ .

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 1 - x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $e^{- y}$ por $1$ .

$e^{- y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Paso 3.4.4.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Paso 3.4.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Paso 3.4.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (x)$ .

$e^{- y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Paso 3.4.4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Paso 3.4.5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Paso 3.4.6

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.4.6.1

Expande $\ln (e^{- y})$ ; para ello, mueve $- y$ fuera del logaritmo.

$- y \ln (e) = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Paso 3.4.6.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Paso 3.4.6.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$

Paso 3.4.7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.7.1

Simplifica $\ln (- \frac{x - 1}{1 + x})$ .

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Paso 3.4.7.1.1

Divide la fracción $\frac{x - 1}{1 + x}$ en dos fracciones.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} + \frac{- 1}{1 + x}))$

Paso 3.4.7.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- y = \ln (- (\frac{x}{1 + x} - \frac{1}{1 + x}))$

Paso 3.4.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} - - \frac{1}{1 + x})$

Paso 3.4.7.1.4

Multiplica $- - \frac{1}{1 + x}$ .

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Paso 3.4.7.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + 1 \frac{1}{1 + x})$

Paso 3.4.7.1.4.2

Multiplica $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Paso 3.4.8

Divide cada término en $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.8.1

Divide cada término en $- y = \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Paso 3.4.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.8.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Paso 3.4.8.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$

Paso 3.4.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.8.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Paso 3.4.8.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ como $- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ .

$y = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.3.1

Elimina los paréntesis.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (- \frac{\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}} + \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + 1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{- \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- (1 - e^{- x}) + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 \cdot 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $- - e^{- x}$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + 1 e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.4.3.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{- 1 + e^{- x} + 1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.4.4

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{0 + e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.4.5

Suma $0$ y $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{e^{- x} + e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.4.6

Suma $e^{- x}$ y $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}}}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.6

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.6.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x}}{1 + e^{- x}} + \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.6.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.6.3

Reescribe $\frac{1 + e^{- x} + 1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.6.3.1

Suma $1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + e^{- x} - e^{- x}}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.6.3.2

Resta $e^{- x}$ de $e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 0}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.6.3.3

Suma $2$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1}{\frac{2}{1 + e^{- x}}})$

Paso 5.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 (\frac{1 + e^{- x}}{2})))$

Paso 5.2.8

Multiplica $\frac{1 + e^{- x}}{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.9.1

Factoriza $2$ de $2 e^{- x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 (e^{- x})}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Paso 5.2.9.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{2 e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot \frac{1 + e^{- x}}{2})$

Paso 5.2.9.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Paso 5.2.10

Cancela el factor común de $1 + e^{- x}$ .

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Paso 5.2.10.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} \cdot (1 + e^{- x}))$

Paso 5.2.10.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - \ln (e^{- x})$

Paso 5.2.11

Usa las reglas de logaritmos para mover $- x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \ln (e))$

Paso 5.2.12

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = - (- x \cdot 1)$

Paso 5.2.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}{1 + e^{- (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x}))}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.2.2

Multiplica $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ por $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{1 - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{- x + 1}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{1 + x - (- x + 1)}{1 + x}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.6

Reordena los términos.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.7

Reescribe $\frac{x + 1 - (- x + 1)}{x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.7.2

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.3.3.7.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + 1 x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.7.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1 \cdot 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.7.4

Suma $x$ y $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.7.5

Resta $1$ de $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x + 0}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.3.7.6

Suma $2 x$ y $0$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica $- - \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{1 \ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.4.2.2

Multiplica $\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})$ por $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + e^{\ln (\frac{- x + 1}{1 + x})}}$

Paso 5.3.4.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{1 + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Paso 5.3.4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{- x + 1}{1 + x}}$

Paso 5.3.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + x - x + 1}{1 + x}}$

Paso 5.3.4.6

Reordena los términos.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}}$

Paso 5.3.4.7

Reescribe $\frac{x - x + 1 + 1}{x + 1}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.7.1

Resta $x$ de $x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}$

Paso 5.3.4.7.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{1 + 1}{x + 1}}$

Paso 5.3.4.7.3

Suma $1$ y $1$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{\frac{2 x}{x + 1}}{\frac{2}{x + 1}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 (x)}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{2 x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = \frac{x}{x + 1} \cdot (x + 1)$

Paso 5.3.7.2

Reescribe la expresión.

$f (- \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$ es la inversa de $f (x) = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (- \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{1 + x})$