Álgebra Ejemplos

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{16 - b^{4}} \div \frac{4 - a^{2}}{4 + b^{2}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{a^{2} + 4 a + 4}{16 - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{a^{2} + 4 a + 2^{2}}{16 - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2}}{16 - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 2$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{16 - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{4^{2} - b^{4}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 3.2

Reescribe $b^{4}$ como ${(b^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{4^{2} - {(b^{2})}^{2}} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = b^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) (4 - b^{2})} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) (2^{2} - b^{2})} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 3.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = b$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) (2 + b) (2 - b)} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $4 + b^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $4 + b^{2}$ de $(4 + b^{2}) (2 + b) (2 - b)$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) ((2 + b) (2 - b))} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(4 + b^{2}) ((2 + b) (2 - b))} \cdot \frac{4 + b^{2}}{4 - a^{2}}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b)} \cdot \frac{1}{4 - a^{2}}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b)}$ por $\frac{1}{4 - a^{2}}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b) (4 - a^{2})}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b) (2^{2} - a^{2})}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = a$ .

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b) (2 + a) (2 - a)}$

Paso 6

Cancela el factor común de ${(a + 2)}^{2}$ y $2 + a$ .

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Paso 6.1

Reordena los términos.

$\frac{{(a + 2)}^{2}}{(2 + b) (2 - b) (a + 2) (2 - a)}$

Paso 6.2

Factoriza $a + 2$ de ${(a + 2)}^{2}$ .

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{(2 + b) (2 - b) (a + 2) (2 - a)}$

Paso 6.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.1

Factoriza $a + 2$ de $(2 + b) (2 - b) (a + 2) (2 - a)$ .

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{(a + 2) ((2 + b) (2 - b) (2 - a))}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 2) (a + 2)}{(a + 2) ((2 + b) (2 - b) (2 - a))}$

Paso 6.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a + 2}{(2 + b) (2 - b) (2 - a)}$