Álgebra Ejemplos

$2^{x} + 2^{5 - x} = 12$

Paso 1

Reescribe $2^{5 - x}$ como $2^{5} \cdot 2^{- x}$ .

$2^{x} + 2^{5} \cdot 2^{- x} = 12$

Paso 2

Reescribe $2^{- x}$ como exponenciación.

$2^{x} + 2^{5} \cdot {(2^{x})}^{- 1} = 12$

Paso 3

Sustituye $u$ por $2^{x}$ .

$u + 2^{5} \cdot u^{- 1} = 12$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$u + 32 \cdot u^{- 1} = 12$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 32 \cdot \frac{1}{u} = 12$

Paso 4.3

Combina $32$ y $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{32}{u} = 12$

Paso 5

Resuelve $u$

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Paso 5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, u, 1$

Paso 5.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$u$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $u + \frac{32}{u} = 12$ por $u$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $u + \frac{32}{u} = 12$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{32}{u} u = 12 u$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{2} + \frac{32}{u} u = 12 u$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{2} + 32 = 12 u$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $12 u$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{2} + 32 - 12 u = 0$

Paso 5.3.2

Factoriza $u^{2} + 32 - 12 u$ con el método AC.

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Paso 5.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 8, - 4$

Paso 5.3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 8) (u - 4) = 0$

Paso 5.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 4 = 0$

Paso 5.3.4

Establece $u - 8$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.3.4.1

Establece $u - 8$ igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 8$

Paso 5.3.5

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.3.5.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 5.3.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 5.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 8) (u - 4) = 0$ verdadera.

$u = 8, 4$

Paso 6

Sustituye $8$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$8 = 2^{x}$

Paso 7

Resuelve $8 = 2^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 8$ .

$2^{x} = 8$

Paso 7.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{3}$

Paso 7.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 3$

Paso 8

Sustituye $4$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$4 = 2^{x}$

Paso 9

Resuelve $4 = 2^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 4$ .

$2^{x} = 4$

Paso 9.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{2}$

Paso 9.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 2$

Paso 10

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = 3, 2$