Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = \frac{a}{x + 2} + \frac{b}{x - 3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{a}{x + 2} + \frac{b}{x - 3} = \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)}$ .

$\frac{a}{x + 2} + \frac{b}{x - 3} = \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)}$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 2.1

Resta $\frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{a}{x + 2} + \frac{b}{x - 3} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{a}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{a}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{b}{x - 3} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{b}{x - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{a}{x + 2} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{b}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) (x - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{a}{x + 2}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{a (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} + \frac{b}{x - 3} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{b}{x - 3}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{a (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} + \frac{b (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{a (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} + \frac{b (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a (x - 3) + b (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a x + a \cdot - 3 + b (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{a x - 3 \cdot a + b (x + 2)}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a x - 3 a + b x + b \cdot 2}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.6.4

Mueve $2$ a la izquierda de $b$ .

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b}{(x + 2) (x - 3)} - \frac{2 x + 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b - (2 x + 1)}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b - (2 x) - 1 \cdot 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b - 2 x - 1 \cdot 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 2.8.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{a x - 3 a + b x + 2 b - 2 x - 1}{(x + 2) (x - 3)} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$a x - 3 a + b x + 2 b - 2 x - 1 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $b$ .

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $a x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 a + b x + 2 b - 2 x - 1 = - a x$

Paso 4.1.2

Suma $3 a$ a ambos lados de la ecuación.

$b x + 2 b - 2 x - 1 = - a x + 3 a$

Paso 4.1.3

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$b x + 2 b - 1 = - a x + 3 a + 2 x$

Paso 4.1.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$b x + 2 b = - a x + 3 a + 2 x + 1$

Paso 4.2

Factoriza $b$ de $b x + 2 b$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $b$ de $b x$ .

$b (x) + 2 b = - a x + 3 a + 2 x + 1$

Paso 4.2.2

Factoriza $b$ de $2 b$ .

$b (x) + b \cdot 2 = - a x + 3 a + 2 x + 1$

Paso 4.2.3

Factoriza $b$ de $b (x) + b \cdot 2$ .

$b (x + 2) = - a x + 3 a + 2 x + 1$

Paso 4.3

Divide cada término en $b (x + 2) = - a x + 3 a + 2 x + 1$ por $x + 2$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $b (x + 2) = - a x + 3 a + 2 x + 1$ por $x + 2$ .

$\frac{b (x + 2)}{x + 2} = \frac{- a x}{x + 2} + \frac{3 a}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{b (x + 2)}{x + 2} = \frac{- a x}{x + 2} + \frac{3 a}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- a x}{x + 2} + \frac{3 a}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Combina en una fracción.

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Paso 4.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b = - \frac{a x}{x + 2} + \frac{3 a}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b = \frac{- a x + 3 a}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $a$ de $- a x + 3 a$ .

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Paso 4.3.3.2.1.1

Factoriza $a$ de $- a x$ .

$b = \frac{a (- 1 x) + 3 a}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.2.1.2

Factoriza $a$ de $3 a$ .

$b = \frac{a (- 1 x) + a \cdot 3}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.2.1.3

Factoriza $a$ de $a (- 1 x) + a \cdot 3$ .

$b = \frac{a (- 1 x + 3)}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.2.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$b = \frac{a (- x + 3)}{x + 2} + \frac{2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b = \frac{a (- x + 3) + 2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$b = \frac{a (- x) + a \cdot 3 + 2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$b = \frac{- a x + a \cdot 3 + 2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.4.3

Mueve $3$ a la izquierda de $a$ .

$b = \frac{- a x + 3 a + 2 x}{x + 2} + \frac{1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.3.3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b = \frac{- a x + 3 a + 2 x + 1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5.2

Factoriza $- 1$ de $- a x$ .

$b = \frac{- (a x) + 3 a + 2 x + 1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $3 a$ .

$b = \frac{- (a x) - (- 3 a) + 2 x + 1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5.4

Factoriza $- 1$ de $- (a x) - (- 3 a)$ .

$b = \frac{- (a x - 3 a) + 2 x + 1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5.5

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$b = \frac{- (a x - 3 a) - (- 2 x) + 1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5.6

Factoriza $- 1$ de $- (a x - 3 a) - (- 2 x)$ .

$b = \frac{- (a x - 3 a - 2 x) + 1}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5.7

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$b = \frac{- (a x - 3 a - 2 x) - 1 (- 1)}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5.8

Factoriza $- 1$ de $- (a x - 3 a - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$b = \frac{- (a x - 3 a - 2 x - 1)}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.3.5.9.1

Reescribe $- (a x - 3 a - 2 x - 1)$ como $- 1 (a x - 3 a - 2 x - 1)$ .

$b = \frac{- 1 (a x - 3 a - 2 x - 1)}{x + 2}$

Paso 4.3.3.5.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b = - \frac{a x - 3 a - 2 x - 1}{x + 2}$