Álgebra Ejemplos

$\frac{8 a^{3} - \frac{1}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Para escribir $8 a^{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{27}{27}$ .

$\frac{8 a^{3} \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.2

Combina $8 a^{3}$ y $\frac{27}{27}$ .

$\frac{\frac{8 a^{3} \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{8 a^{3} \cdot 27 - 1}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4

Reescribe $\frac{8 a^{3} \cdot 27 - 1}{27}$ en forma factorizada.

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Paso 1.4.1

Reescribe $8 a^{3} \cdot 27$ como ${(2 a \cdot 3)}^{3}$ .

$\frac{\frac{{(2 a \cdot 3)}^{3} - 1}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{\frac{{(2 a \cdot 3)}^{3} - 1^{3}}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 2 a \cdot 3$ y $b = 1$ .

$\frac{\frac{(2 a \cdot 3 - 1) ({(2 a \cdot 3)}^{2} + 2 a \cdot 3 \cdot 1 + 1^{2})}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.4

Simplifica.

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Paso 1.4.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) ({(2 a \cdot 3)}^{2} + 2 a \cdot 3 \cdot 1 + 1^{2})}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) ({(6 a)}^{2} + 2 a \cdot 3 \cdot 1 + 1^{2})}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.4.3

Aplica la regla del producto a $6 a$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) (6^{2} a^{2} + 2 a \cdot 3 \cdot 1 + 1^{2})}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.4.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 2 a \cdot 3 \cdot 1 + 1^{2})}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.4.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a \cdot 1 + 1^{2})}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.4.6

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1^{2})}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 1.4.4.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1)}{27}}{{(2 a - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Para escribir $2 a$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1)}{27}}{{(2 a \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 2.2

Combina $2 a$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1)}{27}}{{(\frac{2 a \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})}^{2}}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1)}{27}}{{(\frac{2 a \cdot 3 - 1}{3})}^{2}}$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1)}{27}}{{(\frac{6 a - 1}{3})}^{2}}$

Paso 2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{6 a - 1}{3}$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1)}{27}}{\frac{{(6 a - 1)}^{2}}{3^{2}}}$

Paso 2.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1)}{27}}{\frac{{(6 a - 1)}^{2}}{9}}$

Paso 3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1)}{27} \cdot \frac{9}{{(6 a - 1)}^{2}}$

Paso 4

Combinar.

$\frac{(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1) \cdot 9}{27 {(6 a - 1)}^{2}}$

Paso 5

Cancela el factor común de $6 a - 1$ y ${(6 a - 1)}^{2}$ .

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Paso 5.1

Factoriza $6 a - 1$ de $(6 a - 1) (36 a^{2} + 6 a + 1) \cdot 9$ .

$\frac{(6 a - 1) ((36 a^{2} + 6 a + 1) \cdot 9)}{27 {(6 a - 1)}^{2}}$

Paso 5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1

Factoriza $6 a - 1$ de $27 {(6 a - 1)}^{2}$ .

$\frac{(6 a - 1) ((36 a^{2} + 6 a + 1) \cdot 9)}{(6 a - 1) (27 (6 a - 1))}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(6 a - 1) ((36 a^{2} + 6 a + 1) \cdot 9)}{(6 a - 1) (27 (6 a - 1))}$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(36 a^{2} + 6 a + 1) \cdot 9}{27 (6 a - 1)}$

Paso 6

Cancela el factor común de $9$ y $27$ .

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Paso 6.1

Factoriza $9$ de $(36 a^{2} + 6 a + 1) \cdot 9$ .

$\frac{9 \cdot (36 a^{2} + 6 a + 1)}{27 (6 a - 1)}$

Paso 6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1

Factoriza $9$ de $27 (6 a - 1)$ .

$\frac{9 \cdot (36 a^{2} + 6 a + 1)}{9 (3 (6 a - 1))}$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9 \cdot (36 a^{2} + 6 a + 1)}{9 (3 (6 a - 1))}$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{36 a^{2} + 6 a + 1}{3 (6 a - 1)}$