Álgebra Ejemplos

$\sqrt[n - 1]{27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2}} = 243 x^{6} y^{2}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $n - 1$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[n - 1]{27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2}}}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[n - 1]{27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2}}$ como ${(27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}}$ .

${({(27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(27^{5} {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Eleva $27$ a la potencia de $5$ .

${({(14348907 {(x^{9} y^{3})}^{2})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $x^{9} y^{3}$ .

${({(14348907 ({(x^{9})}^{2} {(y^{3})}^{2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{9})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({(14348907 (x^{9 \cdot 2} {(y^{3})}^{2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.3.2

Multiplica $9$ por $2$ .

${({(14348907 (x^{18} {(y^{3})}^{2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${({(14348907 (x^{18} y^{3 \cdot 2}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

${({(14348907 (x^{18} y^{6}))}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $14348907 x^{18} y^{6}$ .

${({(14348907 x^{18})}^{\frac{1}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $14348907 x^{18}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} {(x^{18})}^{\frac{1}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{18})}^{\frac{1}{n - 1}}$ .

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Paso 2.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{18 \frac{1}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.6.2

Combina $18$ y $\frac{1}{n - 1}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} {(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.7

Multiplica los exponentes en ${(y^{6})}^{\frac{1}{n - 1}}$ .

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Paso 2.2.1.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} y^{6 \frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.7.2

Combina $6$ y $\frac{1}{n - 1}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.2.1.8.1

Aplica la regla del producto a $14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}} y^{\frac{6}{n - 1}}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.8.2

Aplica la regla del producto a $14348907^{\frac{1}{n - 1}} x^{\frac{18}{n - 1}}$ .

${(14348907^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.9

Multiplica los exponentes en ${(14348907^{\frac{1}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.1.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907^{\frac{1}{n - 1} (n - 1)} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.9.2

Cancela el factor común de $n - 1$ .

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Paso 2.2.1.9.2.1

Cancela el factor común.

$14348907^{\frac{1}{n - 1} (n - 1)} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.9.2.2

Reescribe la expresión.

$14348907^{1} {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.10

Evalúa el exponente.

$14348907 {(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.11

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{18}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.1.11.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{\frac{18}{n - 1} (n - 1)} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.11.2

Cancela el factor común de $n - 1$ .

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Paso 2.2.1.11.2.1

Cancela el factor común.

$14348907 x^{\frac{18}{n - 1} (n - 1)} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.11.2.2

Reescribe la expresión.

$14348907 x^{18} {(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.12

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{6}{n - 1}})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.1.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{18} y^{\frac{6}{n - 1} (n - 1)} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.12.2

Cancela el factor común de $n - 1$ .

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Paso 2.2.1.12.2.1

Cancela el factor común.

$14348907 x^{18} y^{\frac{6}{n - 1} (n - 1)} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.2.1.12.2.2

Reescribe la expresión.

$14348907 x^{18} y^{6} = {(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(243 x^{6} y^{2})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $243 x^{6} y^{2}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = {(243 x^{6})}^{n - 1} {(y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $243 x^{6}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} {(x^{6})}^{n - 1} {(y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{6})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 (n - 1)} {(y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n + 6 \cdot - 1} {(y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.3.1.2.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} {(y^{2})}^{n - 1}$

Paso 2.3.1.3

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 (n - 1)}$

Paso 2.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n + 2 \cdot - 1}$

Paso 2.3.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$14348907 x^{18} y^{6} = 243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2}$

Paso 3

Resuelve $n$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2} = 14348907 x^{18} y^{6}$ .

$243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2} = 14348907 x^{18} y^{6}$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Reescribe $\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6} y^{2 n - 2})$ como $\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2})$ .

$\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.3.2

Reescribe $\ln (243^{n - 1} x^{6 n - 6})$ como $\ln (243^{n - 1}) + \ln (x^{6 n - 6})$ .

$\ln (243^{n - 1}) + \ln (x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.3.3

Expande $\ln (243^{n - 1})$ ; para ello, mueve $n - 1$ fuera del logaritmo.

$(n - 1) \ln (243) + \ln (x^{6 n - 6}) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.3.4

Expande $\ln (x^{6 n - 6})$ ; para ello, mueve $6 n - 6$ fuera del logaritmo.

$(n - 1) \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + \ln (y^{2 n - 2}) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.3.5

Expande $\ln (y^{2 n - 2})$ ; para ello, mueve $2 n - 2$ fuera del logaritmo.

$(n - 1) \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$n \ln (243) - 1 \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.4.1.2

Reescribe $- 1 \ln (243)$ como $- \ln (243)$ .

$n \ln (243) - \ln (243) + (6 n - 6) \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$n \ln (243) - \ln (243) + 6 n \ln (x) - 6 \ln (x) + (2 n - 2) \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.4.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$n \ln (243) - \ln (243) + 6 n \ln (x) - 6 \ln (x) + 2 n \ln (y) - 2 \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Mueve $- 6 \ln (x)$ .

$n \ln (243) - \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.5.2

Mueve $- \ln (243)$ .

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - \ln (243) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) = \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - \ln (243) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = 0$

Paso 3.7

Mueve todos los términos que no contengan $n$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.7.1

Suma $\ln (243)$ a ambos lados de la ecuación.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - 6 \ln (x) - 2 \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = \ln (243)$

Paso 3.7.2

Suma $6 \ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - 2 \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = \ln (243) + 6 \ln (x)$

Paso 3.7.3

Suma $2 \ln (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) - \ln (14348907 x^{18} y^{6}) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$

Paso 3.7.4

Suma $\ln (14348907 x^{18} y^{6})$ a ambos lados de la ecuación.

$n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.8

Factoriza $n$ de $n \ln (243) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y)$ .

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Paso 3.8.1

Factoriza $n$ de $n \ln (243)$ .

$n (\ln (243)) + 6 n \ln (x) + 2 n \ln (y) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.8.2

Factoriza $n$ de $6 n \ln (x)$ .

$n (\ln (243)) + n (6 \ln (x)) + 2 n \ln (y) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.8.3

Factoriza $n$ de $2 n \ln (y)$ .

$n (\ln (243)) + n (6 \ln (x)) + n (2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.8.4

Factoriza $n$ de $n (\ln (243)) + n (6 \ln (x))$ .

$n (\ln (243) + 6 \ln (x)) + n (2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.8.5

Factoriza $n$ de $n (\ln (243) + 6 \ln (x)) + n (2 \ln (y))$ .

$n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$

Paso 3.9

Divide cada término en $n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$ por $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ y simplifica.

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Paso 3.9.1

Divide cada término en $n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)) = \ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})$ por $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ .

$\frac{n (\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y))}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} = \frac{\ln (243)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Paso 3.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ .

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Paso 3.9.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 3.9.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (243)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Paso 3.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.9.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Paso 3.9.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Paso 3.9.3.3

Cancela el factor común de $\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)$ .

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Paso 3.9.3.3.1

Cancela el factor común.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Paso 3.9.3.3.2

Reescribe la expresión.

$n = 1 + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Paso 3.9.3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)} + \frac{\ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$

Paso 3.9.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$n = \frac{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (14348907 x^{18} y^{6})}{\ln (243) + 6 \ln (x) + 2 \ln (y)}$